在自然座標系中 , \(\xi_2=1\)和 \(\xi_2=1\),在物理座標系中為 \(x_1\) 和\(x_2\)，相應的節點位移為\(u_1\) 和\(u_2\) 。
在自然座標系 下，單元形函式為
\[N_{1}(\xi)=\frac{1}{2}(1-\xi)\\N_{2}(\xi)=\frac{1}{2}(1+\xi)
\]
利用形函式，在自然座標系下單元內的任一點 \(-1<\xi<1\)可以對映到物理物理座標系下
\[x=N_{1}(\xi)x_{1}+N_{2}(\xi)x_{2}
\]
用同樣的形函式對單元的位移變數進行差值
\[u=N_1(\xi)u_1+N_2(\xi)u_2
\]
這種採用相同的形函式進行座標變換和節點變數插值，並且用相同節點數的單元稱為等參單元，這種變換稱為等參變換.如果變換用的節點數大於函式插值用的節點數，則稱為超參變換；反之，如果變換用的節點數小於函式插值用的節點數，則稱為次參變換，
為了便於在規格化的自然座標系下進行單元特性矩陣的計算，需要建立兩個座標系間導數、面積微元、體積微元的變換關係。
對於一維單元
\[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}N_{1}(\xi)}{\mathrm{d}x}u_{1}+\frac{\mathrm{d}N_{2}(\xi)}{\mathrm{d}x}u_{2}=\frac{\mathrm{d}N_{1}(\xi)}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}u_{1}+\frac{\mathrm{d}N_{2}(\xi)}{\mathrm{d}\xi}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}u_{2}
\]
由\(x=N_{1}(\xi)x_{1}+N_{2}(\xi)x_{2}\)
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi}=\frac{\mathrm{d}N_{1}(\xi)}{\mathrm{d}\xi}x_{1}+\frac{\mathrm{d}N_{2}(\xi)}{\mathrm{d}\xi}x_{2}=\frac{1}{2}(x_{2}-x_{1})=\frac{1}{2}l_{i}
\]
式中 \(l_i=x_2-x_2\) 是單元的長度
式\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi}\)稱為jabobi值，可以表示為 \(J=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\xi}\),將其代入\(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\),得
單元形函式
下面列舉了部門單元形函式，更多的形函式參考 有限元法原理與應用 (朱伯芳)
八節點的四邊形等參單元
\[\begin{aligned}
&N_{1}= \frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)(-1-\xi-\eta) \\
&N_{2}= \frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)(-1+\xi-\eta) \\
&N_{3}= \frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)(-1+\xi+\eta) \\
&N_{4}= \frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)(-1-\xi+\eta) \\
&N_{s}= \frac{1}{2}(1-\xi^{2})(1-\eta) \\
&N_{6}= \frac12(1+\xi)(1-\eta^2) \\
&N_{7}= \frac{1}{2}(1-\xi^{2})(1+\eta) \\
&N_{8}= \frac{1}{2}(1-\xi)(1-\eta^{2})
\end{aligned}
\]
九節點的四邊形等參單元
\[\begin{aligned}&\\&N_{1}=\frac{1}{2}(\xi^{2}-\xi)(\eta^{2}-\eta)\\&N_{2}=\frac{1}{2}(\xi^{2}+\xi)(\eta^{2}-\eta)\\&N_{3}=\frac{1}{2}(\xi^{2}+\xi)(\eta^{2}+\eta)\\&N_{4}=\frac{1}{2}(\xi^{2}-\xi)(\eta^{2}+\eta)\\&N_{3}=\frac{1}{2}(1-\xi^{2})(\eta^{2}-\eta)\\&N_{6}=\frac{1}{2}(\xi^{2}+\xi)(1-\eta^{2})\\&N_{7}=\frac{1}{2}(1-\xi^{2})(\eta^{2}+\eta)\\&N_{8}=\frac{1}{2}(\xi^{2}-\xi)(1-\eta^{2})\\&N_{9}=\frac{1}{2}(1-\xi^{2})(1-\eta^{2})\end{aligned}
\]
線性三角形形函式
\[\begin{aligned}&N_{1}=1-\xi-\eta\\&N_{2}=\xi\\&N_{3}=\eta\end{aligned}
\]
六節點三角形單元的形函式
\[\begin{aligned}
&N_{1}=(1-\xi-\eta)(1-2\xi-2\eta) \\
&N_{2}=\xi(2\xi-1) \\
&N_{3}=\eta(2\eta-1) \\
&N_{4}=4\xi(1-\xi-\eta) \\
&N_{5}=4\xi\eta \\
&N_{6}=4\eta(1-\xi-\eta)
\end{aligned}
\]
八節點正六面體單元
\[N_{1}=\frac{1}{8}(1-\xi)(1-\eta)(1-\zeta)\\
N_{2}=\frac{1}{8}(1+\xi)(1-\eta)(1-\zeta)\\
N_{3}=\frac{1}{8}(1+\xi)(1-\eta)(1+\zeta)\\
N_{4}= \frac{1}{8}(1-\xi)(1-\eta)(1+\zeta) \\
N_{5}= \frac{1}{8}(1-\xi)(1+\eta)(1-\zeta) \\
N_{6}= \frac{1}{8}(1+\xi)(1+\eta)(1-\zeta) \\
N_{7} =\frac{1}{8}(1+\xi)(1+\eta)(1+\zeta) \\
N_{8} =\frac{1}{8}(1-\xi)(1+\eta)(1+\zeta)
\]
參考文獻
Matlab有限元結構動力學分析與工程應用-徐斌
有限元法原理與應用 (朱伯芳)