第一章
1.1 流體的概念
任何固體材料都有一個強度極限，即使合外力和力矩都為零，它的內部也可能會存在著拉力、壓力或者剪下力。當這些內應力超過了材料的強度極限時，固體就會被破壞，從而產生運動。微觀上體現為斷裂處的分子（或原子）之間的化學鍵被破壞，失去了相互的作用力，不再能保持原有結構形式了。
流體的內部只存在壓應力時，可以和固體一樣產生變形並保持靜止。當流體內部存在剪下力時，會產生剪下變形，但這種剪下變形完全產生不了相應的剪下力。於是在剪下力的作用下流體將不斷地變形下去，只要剪下力存在，就不會停止。這種情況有點類似於固體受力遠超過其強度的情況，只不過流體對於剪下力沒有任何“強度”可言，任何小的剪下力都將使其不斷變形下去。因此，流體與固體的本質區別是：流體僅僅依靠靜止變形是無法在內部產生剪下應力的。
流體在運動狀態下內部是可以產生剪下力的。流體的這個性質稱為粘性。
1.2 流體性質
流體的很多性質是與固體中的定義相通的，比如密度、壓力、溫度等。但也有其獨特的屬性，這裡面最典型的就是區分流體和固體的力學特性──粘性。此外，液體具有表面張力、氣體具有易壓縮性，這些都是流體特有的屬性。
1.2.1 流體的粘性
流體受到外界的剪下力作用的時候，它會不斷地變形下去，在這種連續的剪下變形作用下的流體內部會產生剪下應力，這種性質稱為流體的粘性。我們通常見到的液體和氣體都有粘性，只有超流體可以認為是沒有粘性的。
當流體與固體相接觸時，緊挨著固體的流體分子會被吸附在固體上隨之運動。因此，所謂流體與固體之間的摩擦力其實也就是流體之間的摩擦力。
摩擦力為什麼和擠壓力呈正比呢？
畢竟擠壓力與摩擦力是垂直關係，應該沒有沿摩擦力方向的分量才對。原因是這樣：擠壓力越大，則兩物體的接觸面積就越大，這個接觸面積與擠壓力之間基本上是線性關係，因此摩擦力也與擠壓力呈正比。如果是分子級別光滑的兩個物體相接觸，則摩擦力就基本上與擠壓力無關了。
液體與固體的接觸是分子級別的全面接觸，因此摩擦力應該與擠壓力無關。這個擠壓力就是指流體內部的壓力（本書中若非特別強調，壓力都是指壓強，即單位面積上的壓力），這可以解釋為什麼液體的粘性力大小基本與壓力無關。但流體的粘性力大小與溫度卻有著極大的關係，我們都知道涼的糖漿較粘稠，加熱後粘性降低，一般對於液體來說溫度越高粘性力越小。氣體的粘性力較小，生活中一般較難察覺，但精密的實驗已經證實，與液體相反，對於氣體來說溫度越高粘性力越大。液體和氣體粘性的這些特性與產生粘性的物理本質是直接相關的，既然這兩者不同，就應該分別加以分析。
上面討論的由分子力引起摩擦力的作用與固體有些類似，實際上對於液體的摩擦力來說還有一個不同於固體的作用，那就是液體分子並不會安分地分層流動，而是會互相擴散。也就是說各層的分子會有與運動方向垂直的橫向運動，上層的分子會跑到下層去，下層的分子也會跑到上層去。這樣，上層的分子進入下層後就會推動下層的分子運動得快一些，而下層的分子跑到上層去後會拖累上層分子使之速度減慢。這種作用也可以解釋為兩層之間的動量傳遞，既然是沿運動方向的動量傳遞，就有沿這個方向的力，這個力就是摩擦力。
對於做層流運動的液體而言，這個作用遠小於前述的分子吸引力和排斥力的作用，因此經常可以忽略，而認為液體的粘性就是由分子力造成的，其中吸引力經常是主要的。
圖 1-7中，下面的壁面保持靜止，上面的平板以水平速度運動。鑑於流體在與固體壁面接觸的地方會依附在固體表面，與下壁面接觸的流體保持靜止，與上平板接觸的流體以速度 U 隨之運動。牛頓根據實驗結果總結出的規律是：上平板所需的拖動力與其運動速度成正比，與兩平板間的距離成反比，即
式中，F 為拖動平板的力；A 為平板和流體的接觸面積；U 為上平板的運動速度；L 為兩平板間的距離。
鑑於實驗時流體左側和右側的壓力相同，因此平板給予流體的 x 向拖動力在各層流體之間都是相同的，這樣就可以得到任意兩層流體之間的切應力。實驗中還發現流體速度沿 y 方向呈線性分佈，因此牛頓得到：平行流動中，任意兩層流體之間的切應力可以寫為
式中，τ 為切應力；u 為流體水平方向的速度；y 為垂直方向的座標；μ 是一個描述流體粘性大小的係數，稱為粘性係數，有時稱為動力粘性係數。μ 就是流體粘性大小的度量，不同流體的粘性係數差別很大，同一種流體的粘性係數則基本上只隨溫度變化。
事實上並不是所有的流體都遵循式（2），牛頓實驗所用的流體是滿足這個關係的，基本上所有氣體和粘性小的液體都是滿足這個關係的，這些流體被大家稱為牛頓流體。因為這種流體的切應力與速度梯度之間是線性關係，因此有時也稱為線性流體。
自然界中也存在著大量不滿足式（2）的流體，這一類流體統稱為非牛頓流體。一般來說，牛頓流體的粘性比較小，那些粘性比較大的諸如油漆、蜂蜜、血液等基本上都屬於非牛頓流體。可以看出非牛頓流體一般對應著大分子的液體，這些液體的分子在有速度梯度的流場中會互相糾纏，因此粘性力與速度的關係更復雜些。所有非牛頓流體的切應力與速度梯度都不是線性關係，有些非牛頓流體的剪下力不但與速度相關，還與作用時間長短相關。
1.2.2 液體的表面張力
表面張力是使液體表面收縮的一種力，是表層分子之間相互吸引產生的。分子間力稱為範德華力，同時包含吸引力和排斥力。當液體不受外力時，內部分子間也處於平衡的不受力狀態，即吸引力和排斥力相等，分子們靠近一點就體現出排斥力，遠離一點就體現出吸引力。而在液體表面上，經常有些能量高的分子掙脫了其他分子的吸引力而逃脫，這就是液體的氣化。在這種作用下，液體表層分子間的距離比內部分子間的距離更大一些，分子間體現為拉力，這就是表面張力。表面張力的存在使液體表面趨向於面積最小，使液滴傾向於呈球形。
1.2.3 氣體的狀態方程
由熱力學可知，氣體的壓力、密度和溫度三者之間滿足一定的關係，這種關係稱為狀態方程。如果氣體分子本身的體積和分子之間的作用力可以忽略，這種氣體就稱為完全氣體（又稱理想氣體），其狀態可以用下式來表示，即
式中，\(p\) 為壓力；\(\rho\) 為密度；\(T\)為溫度；\(R_0\)為理想氣體常數，\(R_0=8.314\)J/(mol\(\cdot\)K); \(M\)為氣體的摩爾質量(需要用 kg 表示以適應其他量的國際單位)。
多數氣體在常見的壓力和溫度範圍內的分子自由程都比較大，因此都是比較符合完全氣體狀態方程的，在流體力學中處理的氣體主要是空氣，其狀態方程常簡寫為
式中,R稱為氣體常數,對於空氣, R=287.06 J/(kg ·K)。
不同於氣體，液體的狀態方程並沒有一個統一的理想模型存在。一般的液體密度隨溫度升高而降低，變化率各有不同，是由很多因素決定的，很難用統一的理論描述，一般用實驗確定。水是一種比較特殊的液體，在 4℃時密度最大，低於或高於這個溫度時密度都會減小。液體的壓力則基本上與溫度和密度無關，主要取決於所受的外力。流體力學中一般把液體當做不可壓縮流體對待，即液體的密度不隨壓力而改變，而壓力和溫度分別由動量方程和能量方程決定。
1.2.4 氣體的壓縮性
壓縮性是指對於一定量的物質其體積的改變程度，或者其密度的改變程度。固體和液體的分子緊密地擠在一起，任何妄圖讓它們更靠近一些的努力都將會受到巨大的分子間排斥力的反抗，因此固體和液體都是很難壓縮的。
決定物質是否會被壓縮的因素不只是它本身的抗壓能力，還要看其受力的大小。實際上雖然氣體較易壓縮，但對於多數流動問題，氣體微團的受力都遠未達到明顯影響其自身體積的程度，從而可以忽略壓縮性的影響。例如，一輛汽車以120 km/h的速度行駛時，其前面“撞上”的空氣只會受到非常輕微的壓縮（密度改變不到 0.5%），然後就四散流動開來。這種壓縮的本質是氣體在減速過程中慣性力對自身的作用，因此這類流動中氣體的密度與其流動速度直接相關。一般認為氣體在低於 0.3倍聲速的流動中密度變化很小，可以按不可壓縮處理，當然根據要求精度的不同，這個標準也可以適當提高或降低。
慣性力除了可由速度的大小改變產生外，也可以由速度的方向改變產生。在高速旋轉的容器中，不同旋轉半徑處的氣體會有不同的壓力，對應著不同的密度。這時即使氣體以緩慢的速度從中心流向四周，密度也會有明顯的改變，這種壓縮作用是離心力造成的。
除了慣性力外，重力對氣體密度也會有影響，比如不同高度的大氣密度有明顯的不同。一般在高度差不大的情況下，重力的影響並不大，例如，我們認為十層樓高處的空氣與地面處的空氣密度是一樣的，實際上它們有千分之幾的差別。如果要處理氣體由地面上升到雲端的流動，恐怕就必須要考慮重力帶來的壓縮影響了。
溫度變化對密度的影響也不可忽略，如果氣體微團在流動過程中對外傳熱，那麼其自身溫度降低，此時就會受到壓縮，接受來自外界的壓縮功。反之，如果氣體微團在流動過程中接受外界的熱量，那麼其自身溫度升高，此時就會膨脹，對外界做膨脹功。
若流體是不可壓縮的，則沒有壓縮功和膨脹功的存在，溫度對流動的影響就會小得多，這時的流動問題會得到極大的簡化。因此，對於溫差不太大，離心力不太強，速度不高的氣體流動來說，可以假設流體是不可壓縮的，這稱為不可壓縮流動理論。這種流動是流體力學中研究得最多，應用也最為廣泛的流動。
1.2.5 氣體的導熱性
熱量在物體中會由溫度高的地方傳向溫度低的地方，這種性質稱為導熱性。單位時間單位面積所傳遞的熱量由傅立葉定律確定，即
\(\dot{q}\)為單位時間內透過單位面積的傳熱量；λ 為物質的導熱係數；n 為溫度梯度的方向。
氣體中的導熱與固體中的導熱機理有很大不同，固體分子平均位置不動，分子動能的傳遞靠的是分子的振動，氣體中的導熱還包括分子熱運動的擴散效應。擴散效應並不等同於流動中的摻混作用，因為氣體的宏觀速度為零時也一樣存在擴散產生的導熱，而氣體透過宏觀運動的摻混引起熱量交換屬於對流換熱。可以看出，氣體的導熱性與粘性的物理本質類似，其導熱係數是隨溫度的升高而增大的。儘管氣體的導熱有擴散效應在幫忙，因分子間距大，其導熱能力還是要遠遠低於固體和液體，以至於經常可以忽略。
1.3 連續介質
物質都是由基本粒子構成的，前面的分析中大量使用了分子和原子的概念。然而對於經典的固體力學和流體力學而言，去研究單個分子或原子的行為是沒有必要的。即使是對於氣體這樣分子間距較大的物質，也可以用壓力和溫度等宏觀特性來描述其微觀力學行為。
因此，經典力學總是把物質看作是連續可分的，稱為連續介質假設，固體力學和流體力學都屬於連續介質力學。
判斷連續介質假設是否適用的唯一標準就是所研究的流動問題的尺度與分子大小（固體和液體）或分子自由程大小（氣體）的關係。對常溫常壓的氣體而言，分子平均自由程量級為 \(7×10^{-5} mm\)，只要研究的物件遠大於這個尺度，就滿足連續介質假設。一般我們所見的流動滿足連續性假設都沒問題，像花粉顆粒這麼小的尺度就不滿足連續介質假設，其在靜止的水中會產生布朗運動這類受水分子影響的運動。在 120km的高空運動的火箭和飛船也不滿足連續效能假設，因為此處空氣分子的平均自由程達到了 0.3m。
1.4 流體中的作用力
流體力學中習慣按照作用形式將物體受到的作用力分為兩類：一類是不需要接觸，作用於全部流體上的力，稱為體積力或質量力；另一類是直接與物體相接觸而施加的力，稱為表面力。
重力（萬有引力）和磁力都屬於體積力，如果分析問題時採用非慣性座標，則慣性力也是一種體積力。壓力和粘性力都屬於表面力，壓力是正應力，就是說流體中任何表面上的壓力都與該面垂直。流體內部的切應力完全由粘性力產生，而正應力中也有粘性力的貢獻。在多數情況下，粘性正應力比起壓力來說小到可以忽略，所以通常認為粘性只產生切應力。
在靜止的流體中或者運動的無粘流體中，任一點的壓力大小與其作用方向無關。這個性質使流體的壓力具有標量屬性，可以看作是流體的一種狀態引數。我們可以這樣理解壓力與方向無關的特性：對於靜止的或者運動的無粘流體，壓力是唯一的表面力。對流體中的某一點而言，體積力（重力和慣性力）趨向於零，來自四面八方的表面力之間要達成平衡，就必須全部相同。
第二章
2.1 流體靜止時的受力分析
流體的靜止狀態指的是流體各部分之間沒有相對運動，或者說流體的形狀不發生改變。根據流體的定義可知，這時粘性完全不發生作用，流體中的表面力只有壓力，因此流體靜力學的核心問題就是壓力與體積力的平衡關係。因為體積力一般為重力和慣性力，所以靜力學的問題主要分兩類：一類是重力場中靜止的流體的問題；另一類是流體不變形地做變速運動的問題。
對於任何一個靜止的處於其他微團包圍之下的流體微團而言，四周流體給予它的表面力（壓力）之和必然和它所受的體積力相互抵消。在直角座標系中，壓力產生的合力沿任一座標方向的投影都與那個方向的體積力大小相等方向相反。下面我們將針對一個流體微團進行分析，並匯出一般形式的關係式。
如圖 2-1所示，在靜止的流體內部取一個六面體，讓其六個面分別垂直於 3個座標軸。3個方向的邊長分別為 dx，dy 和 dz，於是該六面體的體積為dxdydz，質量為 ρdxdydz。如果用 F b 表示體積力，用 f b 表示單位質量的體積力，則有如下關係式：
在直角座標系中，上式可以寫成分量形式，即：
與體積力平衡的壓力具有標量屬性，也就是說對於一點來說，壓力沿任何方向的大小都是一樣的。壓力與其作用的面積相乘是表面力，表面力是有方向的，因為壓力的作用面是有方向的。比如對於浸入水中的物體來說，只有作用在朝下的面的水壓力才能產生向上的浮力，而朝上的面上作用的水壓力都是向下的。由於要平衡作用於其內部的體積力，環繞微元體外表面的壓力不能相同，而是有壓差，正是這個壓差產生的力與體積力之間平衡。
對於圖 2-1所示的流體微團來說，如果在 x 方向上有圖中所示向右的體積力的話，則微團右側面的表面力一定要大於左側面的力才能平衡。假定微團中心處的壓力是 p，則其左側面上的壓力小於這個值，右側面上的壓力大於這個值。那如何將側面上的壓力用中心點處的壓力錶示出來呢？這就要用到一種力學中常用的方法──泰勒展開。在下一頁的Tips中有針對泰勒展開的專門論述供讀者參考，這裡不再詳述。應用泰勒展開，並忽略二階以上小量後，左右側面的壓力可以分別寫為
式中，\({\partial p}/{\partial x}\)表示了壓力沿 x 方向的變化率，也稱為沿 x 方向的壓力梯度。可見，左右側面上的壓力都可以用微團中心處的壓力及壓力梯度表示。
現在已經得出了 x 方向的體積力和表面力，就可以列出力的平衡關係式了，即
類似地，也可以得到 y 方向和 z 方向的關係式，於是我們就得到了直角座標系下分量形式的力平衡關係式如下：
式中，\({\partial p}/{\partial x}\)，\({\partial p}/{\partial y}\) 和\({\partial p}/{\partial z}\) 表示了壓力沿 3個方向的梯度。
根據梯度的定義：
可以將式（2.1）寫成向量形式如下：
式（2.1）和式（2.1a）就是靜止的流體內部壓力與體積力的關係，稱為尤拉靜平衡方程，是尤拉（Leonhard Euler，1707—1783）最先得出的。可以看到，當流體處於靜止狀態時，其內部的壓力分佈只與體積力相關，壓力沿體積力作用方向增加。在重力場中下層流體的壓力比上層的高，在離心力場中旋轉半徑大的地方的流體壓力比旋轉半徑小的地方的大。這也可以這樣理解：在重力場中上層流體的重量全靠下層流體來支撐，在離心力場中內層流體的向心力全靠外層流體提供。
2.2 重力作用下流體內部的壓力分佈
當靜止或做勻速運動（內部無相對運動）的流體處於重力場中時，其內部的壓力分佈只受到重力的影響。對於圖 2-2所示的處於重力場中的液體而言，根據式（2.1），若取垂直向上為座標 z 的正向，則尤拉靜平衡方程可以寫為
當認為重力加速度與流體密度都為常數時，從這個公式可以積分得到液體內的壓力公式：
式中，$p_0 $為液麵處的大氣壓力；h為深度。
可見，液體內的壓力只與大氣壓、液體密度和深度有關。根據該公式可以有如下的論述：形狀不同而底面積相等的容器 ,內裝有深度相等的水，雖然容器中水的重量不同，但水對底面的力卻是相同的。例如圖 2-3給出了四種不同形狀的容器，水對底面的力都是相等的。這個結論最早是由帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）提出來的，在當時是一個令人迷惑的現象，被人們稱為“流體靜力學悖論”。
2.3 慣性力作用下流體內部的壓力分佈
當流體做加減速運動時，只要加速度恆定，其內部就不會發生相對運動。這時如果與流體一起運動，則可以把加速度轉化為慣性力，因此這一類問題也屬於流體靜力學問題。這類問題只有兩種：即沿直線的恆加速運動和圍繞某一中心的恆速轉動。圖 2-4表示了這兩種情況下流體內部微團上的壓力分佈，在這兩種運動中，慣性力與重力同時作為體積力發生作用。計算中只要把這兩個力進行向量疊加，再應用尤拉靜平衡方程進行求解就行了。
參考文獻
1.我所理解的流體力學-王洪偉