屈服條件8

目錄

• 屈服條件
  • 2.1 應力偏張量及性質
    • 1.應力張量的分解及應力偏量
    • 2.應力偏張量的性質
  • 2.2 應力空間，π平面和Lode引數
    • 1.主應力空間和\(\pi\)平面
    • 2. 應力偏量的二維表示
  • 2.3 應力偏量和等效應變
  • 2.4 初始屈服條件和初始屈服曲面
    • 1.屈服條件的一般概念
    • 2.屈服條件的簡化及屈服面的幾何形狀
      • 性質 1 在應力空間中，屈服面是母線平行於等傾線\(L\)的等截面柱體。
      • 性質 2 屈服曲線是外凸的。
      • 性質 3 屈服曲線關於\(\sigma_1^{\prime},\sigma_2^{\prime},\sigma_3^{\prime}\)對稱。
      • 性質4 屈服曲線以\(\sigma_1^{\prime},\sigma_2^{\prime},\sigma_3^{\prime}\)的垂線為對稱軸。
    • 3.屈服曲線的確定
  • 2.5 常用的屈服條件
    • • 1.Tresca 屈服條件
      • 2. Mises 屈服條件

屈服條件

2.1 應力偏張量及性質

在空間應力狀態下，適當選擇座標軸，可讓剪應力為零，而只剩正應力，這樣相互垂直的座標軸的方向叫應力張量的主方向，或者主軸。

與主方向垂直的面叫主平面，該面上的正應力叫主應力，三個主應力分別用 \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\)表示，則主應力\(\sigma_N\)

的值可以用行列式表示

\[\begin{vmatrix}\sigma_x-\sigma_N&\tau_{xy}&\tau_{zx}\\\tau_{xy}&\sigma_y-\sigma_N&\tau_{yz}\\\tau_{zz}&\tau_{yz}&\sigma_z-\sigma_N\end{vmatrix}=0 \]

即

\[\sigma_N^3-I_1\sigma_N^2-I_2\sigma_N-I_3=0 \]

求得，其中

\[I_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z \\ I_{2}=-(\sigma_{x}\sigma_{y}+\sigma_{y}\sigma_{z}+\sigma_{z}\sigma_{x})+(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{zx}^{2})\\ I_{3}=\sigma_{x}\sigma_{y}\sigma_{z}+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}-\sigma_{x}\tau_{yz}^{2}-\sigma_{y}\tau_{zx}^{2}-\sigma_{z}\tau_{xy}^{2} \]

座標變換時，應力分量會改變，但是主應力的值不變，以為係數 $ I_1,1_2,I_3$ 和座標軸的取向無關，他們叫應力張量的第一，二，三不變數。

如果取主軸為座標軸，則得到應力表示的應力不變數

\[\begin{aligned}&I_{1}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}\\&I_{2}=-(\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\sigma_{3}\sigma_{1})\\&I_{3}=\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\end{aligned} \]

另外，透過主方向且與另外兩個主方向成45°角的平面的剪應力稱為主剪應力，分別用\(\tau_1,\tau_2,\tau_3\)

主剪應力與主應力的數值關係為

\[\tau_{1}=\frac{1}{2}(\sigma_{2}-\sigma_{3})\\\tau_{2}=\frac{1}{2}(\sigma_{3}-\sigma_{1})\\\tau_{3}=\frac{1}{2}(\sigma_{1}-\sigma_{2}) \]

把主應力按順序排列 \(\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3\),則

\[\tau_{\max}=\frac{1}{2}(\sigma_{1}-\sigma_{3}) \]

1.應力張量的分解及應力偏量

要建立複雜應力狀態下的屈服準則或判據，必須從深人分析一點的應力狀態著手。根據 Bridgman 的實驗，靜水壓力不影響屈服，對應於靜水應力狀態的變形是彈性的體積改變，而無形狀的改變。可以設想，如將描述一點應力狀態的應力張量分解成兩部分，其中一部分為平均正應力，即靜水壓力，它與塑性變形無關；另一部分是扣除平均應力後的剩餘部分，它將直接與形狀改變、塑性變形相關。

記平均正應力(mean normal stress)為 \(\sigma_\mathrm{m}\),有

\[\sigma_{\mathrm{m}}=\frac{1}{3}(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}) \]

由應力張量的第一不變數$I_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z $可知，平均正應力也是一個不變數，現在將應力張量分解成兩個部分

\[\begin{bmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{zx}\\\tau_{xy}&\sigma_y&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{yz}&\sigma_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_m&0&0\\0&\sigma_m&0\\0&0&\sigma_m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sigma_x-\sigma_m&\tau_{xy}&\tau_{xx}\\\tau_{xy}&\sigma_y-\sigma_m&\tau_{yz}\\\tau_{zz}&\tau_{yz}&\sigma_z-\sigma_m\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}\sigma_m&0&0\\0&\sigma_m&0\\0&0&\sigma_m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}S_x&S_{xy}&S_{xx}\\S_{xy}&S_y&S_{yz}\\S_{xx}&S_{yz}&S_z\end{bmatrix} \]

或者簡寫為

\[\sigma_{ij}=\sigma_{\mathfrak{m}}\delta_{ij}+S_{ij} \]

等式右邊第一個張量稱為應力球張量(簡稱球張量）

其中\(\delta_{ij}\)為Kronecker符號, 它的定義

\[\delta_{ij} = \begin{cases}1 ,&\text{當} i=j\\0 ,&\text{當} i\neq j\end{cases} \]

也可以叫單位張量

\[\delta_{ij} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \]

等式右邊第二個張量稱為應力偏張量(簡稱應力偏量，deviatoric stress),其中\(S_{x}=\sigma_{x}-\sigma_{\mathrm{m}},S_{y}=\sigma_{y}-\sigma_{\mathrm{m}},S_{z}=\sigma_{z}-\sigma_{\mathrm{m}},S_{xy}=\tau_{xy},S_{zx}=\tau_{zx},S_{yz}=\tau_{yz}\)。應力球張量對應於均勻應力狀態，它只引起彈性體積改變，而無形狀改變。應力偏張量反映了一個實際的應力狀態偏離均勻應力狀態的程度，它所代表的應力狀態將只產生材料的形狀改變，而無體積改變。正是由於應力偏量顯示出與形狀改變有關的塑性變形的部分，因而，在塑性力學中，應力偏量概念有重要意義。

2.應力偏張量的性質

(1)主方向和不變數(invariant) 應力偏張量也是一種應力狀態，它代表一特殊應力狀態，因而也有主方向和不變數，可以看出，\(S_{ij}\)與\(\sigma_{ij}\)有相同的主方向，其不變數可表示為

\[\begin{aligned} &J_1 =S_{x}+S_{y}+S_{z}=S_{ii}=0 \\ &J_{2} =-(S_{x}S_{y}+S_{y}S_{z}+S_{z}S_{x})+(S_{xy}^{2}+S_{yz}^{2}+S_{zx}^{2}) \\ &=\frac{1}{2}[S_{z}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}+2(S_{zy}^{2}+S_{yz}^{2}+S_{zx}^{2})] \\ &=\frac{1}{2}S_{ij}S_{ij} \\ &J_{3} =S_{x}S_{y}S_{z}+2S_{xy}S_{yz}S_{zx}-S_{x}S_{yz}^{2}-S_{y}S_{zx}^{2}-S_{z}S_{xy}^{2} \\ &=\frac{1}{3}\{S_{x}^{3}+S_{y}^{3}+S_{z}^{3}+6S_{xy}S_{yz}S_{zx} \\ &+3[S_{xy}^2(S_x+S_y)+S_{yz}^2(S_y+S_z)+S_{zx}^2(S_z+S_x)]\} \\ &=\frac{1}{3}S_{ij}S_{jk}S_{ki} \end{aligned} \]

若以 \(S_1,S_2,S_3\)表示主應力偏量,則有

\[\begin{aligned}&J_{1}=S_{1}+S_{2}+S_{3}=0\\&J_{2}=-(S_{1}S_{2}+S_{2}S_{3}+S_{3}S_{1})=\frac{1}{2}(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2})\\&J_{3}=S_{1}S_{2}S_{3}\end{aligned} \]

在塑性力學中,應力偏張量的第二不變數\(J_2\)是一個非常重要的量。$J_2 \(還可用\) \sigma_{ij}$表示為

\[\begin{aligned} J_{2}& =\frac{1}{6}\Big[(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{z})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{zx}^{2} )]\\ &=\frac{1}{6}\Big[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\Big] \\ &=\frac{1}{3}\Big[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{2}\sigma_{3}-\sigma_{3}\sigma_{1}\Big] \end{aligned} \]

(2) $J_2 $ 的一個不等式，\(1\leqslant\frac{2 \sqrt{J_{2}}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}\leqslant\frac{2}{\sqrt{3}}\approx1.5\)

3. 幾個和\(J_2\)有關的量

   等斜面(八面體面)上的正應力\(\sigma_8\) 和剪應力 \(\tau_8\)

   選取座標軸\(x,y,z\)與被考察點的三個應力主方向重合，考慮一個法線為\(N\)的斜面，N 為單位向量，其方向餘弦為

\[\mid l\mid=\mid m\mid=\mid n\mid=\frac1{\sqrt{3}} \]

這種平面稱為等斜面(圖 2.1)。顯然這樣的面有八個(每個象限有一個),它們構成一個八面體，所以等斜面也稱為八面體面。等斜面上的正應力(octahedral normal stress) \(\sigma_{8}(\)或記為 \(\sigma_{\mathrm{oct}})\)為

\[\sigma_8=\sigma_1l^2+\sigma_2m^2+\sigma_3n^2=\frac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\sigma_\mathrm{m} \]

等斜面的總應力為

\[F_8^2=(\sigma_1l)^2+(\sigma_2m)^2+(\sigma_3n)^2=\frac13(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2) \]

則等斜面上的剪應力(octahedral shear stress) 或記為\(\tau_{oct}\)

\[\begin{aligned} \tau_{8}& =\sqrt{F_{8}^{2}-\sigma_{8}^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}-\sigma_{2}\sigma_{3}-\sigma_{3}\sigma_{1})} \\ &=\frac13 \sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2} \\ &=\sqrt{\frac23J_2} \end{aligned} \]

由此可見，等斜面上的應力可分解為兩部分，其中八面體剪應力在塑性力學中很有用處。\(\tau\)。也可以用應力分量表示為

\[\tau_{8}=\frac{1}{3} \sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{z})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{zz}^{2})} \]

(2)應力強度(等效應力) \(\sigma_i\)為了使不同應力狀態下的強度效應能相互比較，引人應力強度或等效應力的概念。單向應力狀態僅由應力的大小即可反映出其強度。對複雜應力狀態，其強度應由各應力分量的聯合作用來表徵。為此引人一個綜合性的量，使它具有和單向應力相似的可比較性，即應力強度。
在塑性力學中，將應力強度定義為

\[\sigma_{i}=\frac{3}{\sqrt{2}}\tau_{8}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}} \]

或者

\[\sigma_{i}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{z})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{zx}^{2})} \]

\(\sigma_i\) 用應力偏量表示

\[\sigma_{i}=\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2}+2(S_{xy}^{2}+S_{yz}^{2}+S_{zz}^{2})}=\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{S_{ij}S_{ij}} \]

單向應力狀態可作為複雜應力狀態的特例，對於單向拉伸\(,\sigma_1\neq0,\sigma_2=\sigma_3=0\),有
\(\sigma_{i}=\sigma_{1}\)。這就是 \(\sigma_i\) 的定義式(2.1.14)中引人係數\(\frac3{\sqrt{2}}\)的來由。

等效應力還可以用\(J_2\)來表示,有

\[\sigma_{i}=\sqrt{3J_{2}} \]

顯然它也是一個不變數，與座標的選擇無關。從函式的形式可以看出，各正應力分量增加或減少一個靜水應力，等效應力的值不變，即它與球張量無關，而只與應力偏張量有關。

主剪應力和剪應力強度 設\(\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3\),可定義三個主剪應力為

\[\tau_{1}=\frac{\sigma_{2}-\sigma_{3}}{2},\quad\tau_{2}=\frac{\sigma_{3}-\sigma_{1}}{2},\quad\tau_{3}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2} \]

則有

\[\begin{aligned}J_{2}&=\frac{1}{6}\Big[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\Big]\\&=\frac{2}{3}(\tau_{1}^{2}+\tau_{2}^{2}+\tau_{3}^{2})\end{aligned} \]

在純剪應力狀態下，即\(\tau_{xy}=\tau,\sigma_{x}=\sigma_{y}=\sigma_{z}=\tau_{yz}=\tau_{zx}=0\),則\(J_2=\tau^2\)。若令\(T=\sqrt{J_2}\) (純剪時\(T=\tau\)),\(T\)稱為剪應力強度，可用來表徵塑性變形。它是將複雜應力狀態化作一個具有相同效應的純剪狀態時的剪應力。由式(2.1.13)可得

\[T=\sqrt{J_2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\tau_8 \]

以上介紹的\(\tau_8,\sigma_i\)及\(T\)均與應力球張量無關，它們直接與單純的形狀變化相關聯，故在塑性力學中均有應用。

2.2 應力空間，π平面和Lode引數

1.主應力空間和\(\pi\)平面

一點應力狀態的表示可採用六個獨立的應力分量，也可以用三個主應力的大小及其相應的三個主方向，還可以用應力張量的三個不變數及應力主方向。如同在三維空間內\(x,y,z\) 的三個座標值可確定空間一個點的位置一樣，確定一點應力狀態的六個獨立應力分量也可在虛構的六維應力空間中表示。所謂六維應力空間，就是以六個應力分量為六個座標軸的假想空間，該應力空間中的任一點都表示一個應力狀態。考慮到材料是初始各向同性的，從建立屈服條件的目標出發，只要知道三個主應力的大小即可。於是，如將三個主應力\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\)取為三個相互垂直的直角座標軸而構成一個空間直角座標系(如圖 2.2),則該空間中的一點\(P\)就對應於物體中某點的應力狀態(\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\),或者用向量$\overrightarrow{OP} $表 示 該 點 的 應 力 狀 態 , 稱 為 應力狀態矢。這個空間就稱為主應力空間，它是由 Haigh-Westergaard 提出的。在載荷改變的過程中，物體內各點的應力狀態在不斷地變化，在應力空間中相應的應力點也在不斷地改變其位置，則這些應力狀態矢的矢端描出的軌跡就稱為相應點的應力路徑(歷史),即應力空間中的一曲線表示了一點應力狀態的變化過程。

設以\(i,j,k\)表示主應力空間中三個座標軸的單位向量。今在應力空間中做一直線\(L\),它過原點\(O\),且與三個座標軸的夾角相等，稱之為等傾線\(L\)(也有稱等斜線)。由於\(L\)上任一點在三個座標軸上的座標是相等的，所以\(L\)直線的方程是

\[\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3 \]

由於在這個平面上所有各點的平均應力為零，只有應力偏量，因此，將其稱為偏量平面\(\pi\)。位於\(\pi\)平面上的點是與應力偏量相對應的。

現對向量\(\overrightarrow {OP}\)做 如 下 分 解

\[\begin{aligned} \text{OP}& =\sigma_1i+\sigma_2j+\sigma_3k \\ &=(\sigma_{1}-\sigma_{\mathrm{m}})i+(\sigma_{2}-\sigma_{\mathrm{m}})j+(\sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{m}})k+\sigma_{\mathrm{m}}i+\sigma_{\mathrm{m}}j+\sigma_{\mathrm{m}}k \\ &=(S_{1}i+S_{2}j+S_{3}k)+(\sigma_{m}i+\sigma_{m}j+\sigma_{m}k) \\ &=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{ON} \end{aligned} \]

式中：\(\overrightarrow {OQ}\)為應力偏量；\(\overrightarrow{ON}\)為靜水應力。因\(\overrightarrow {ON}\)在三個座標軸上的投影相等，故必與等傾線 \(L\) 重合。又由 \(S_1+S_2+S_3=0\),知\(\overrightarrow { OQ}\)必在 \(\pi\) 平面內。
注意，過\(\pi\)平面上任一點且與\(\pi\)平面相垂直做一直線\(L^\prime\),該線上各點的應力 偏量是相同的。因靜水應力對材料的塑性特性沒有影響，故考察塑性變形與應力狀態之間的關係時，可以著眼於 \(\pi\) 平面，只考慮在該平面的投影(如\(\overrightarrow{OQ}\))即可，因為立力空間中任一點所代表的應力狀態的偏量部分必落在\(\pi\)平面上。

2. 應力偏量的二維表示

塑性力學僅對應力偏量感興趣，故在應力空間中只需研究\(\pi\)平面上各點所代表的應力狀態即可。而在\(\pi\)平面上任一點的位置可用兩個引數來表示，即

\[(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\rightleftharpoons(x,y)\text{ 或}(r,\theta) \]

如何建立空間點與平面之間的關係？下面進行討論。

將單位向量(\(i,j,k\))向\(\pi\)平面上投影，且記為\((i^{\prime},j^{\prime},k^{\prime})\),在 \(\pi\) 上取直角座標 Oxy,使 y軸與\(j^\prime\)重合，如圖 2.3 所示。為建立主應力空間一點\((\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\)與空間直角座標一點\((x,y)\)的關係，先要求出\(i,j,k\) 在\(\pi\) 平面上投影的長度。設向量\(i\)在\(\sigma_\mathrm{l}\) 軸上的端點為 \(a\),在 \(\pi\) 平面上的投影為 \(a^{\prime}\)，\(j\)在\(\sigma_2\)軸的端點為\(b\)，在\(π\)平面的投影為\(b^{\prime}\)，在向量\(\overrightarrow {ab}\)的長度為

\[\mid\overrightarrow{ab}\mid=\sqrt{\mid\boldsymbol{i}\mid^2+\mid\boldsymbol{j}\mid^2}=\sqrt2 \]

因為 \(\overrightarrow {ab}\) 與π 平行，故

\[\mid\overrightarrow{a'b'}\mid=\sqrt{2} \]

則

\[\mid\overrightarrow{oa'}\mid=\frac{\mid\overrightarrow{a'b'}\mid}{2} \frac{1}{\cos30°}=\sqrt{\frac{2}{3}} \]

故\(a^{\prime}\)在\(Oxy\) 系下的座標為\(\left(x=\frac{\sqrt{2}}{2},y=-\frac{1}{\sqrt{6}}\right);\) 主應力(\(\sigma_1,0,0)\)在\(\pi\)平面投影座標為$ (\sqrt{\frac23} \sigma_1,-\frac{1}{\sqrt{6}}\sigma_1)$,

b‘ 在\(Oxy\) 系下的座標為 \(\left(x=0,y=-\sqrt{ \frac{2}{3}}\right)\); 故(0,\(\sigma_2,0\))在 \(\pi\) 平面投影的座標為\(\left(0,\sqrt{\frac23}\sigma_2\right)\).

\(c^\prime\)在\(Oxy\) 系下的座標為 \(\left (-\frac{\sqrt{2}}2,-\frac1{\sqrt{6}} \right)\), 則 $ (0,0,\sigma_3) $ 在π平面投影座標 $ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma_3,-\frac{1}{\sqrt{6}}\sigma_3\right)$

因而，\((\sigma_1,0,0)+(0,\sigma_2,0)+(0,0,\sigma_3)=(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\)在\(\pi\)平面內\(Ox\)y直角座標系下的座標為

\[\begin{cases}x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sigma_1-\sigma_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}(S_1-S_3)\\y=\frac{2\sigma_2-\sigma_1-\sigma_3}{\sqrt{6}}=\frac{2S_2-S_1-S_3}{\sqrt{6}}\end{cases} \]

設偏量向量\(\overline {OQ}\)的模為\(r_\sigma\) ,與x軸夾角為\(\theta_\sigma\) ,進而可得在 π平面內極座標系下的座標

\[\begin{cases}r_{o}= \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{2J_{2}} = \sqrt{2} T = \sqrt{3}\tau_{8} = \sqrt{\frac{2}{3}}\sigma_{i}\\\\\tan\theta_{o} = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{2\sigma_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\mu_{o}\end{cases} \]

\(\theta\)。稱為應力羅德(Lode)角，它反映了各應力偏量之間的比例特徵，\(r\)。則反映了它們之間的數量特徵。上式中已經給出，一個應力狀態在\(\pi\)平面上的投影等於它的應力強度乘以\(\sqrt{\frac23}\)。

其中

\[\mu_\sigma=\frac{2\sigma_2-\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1-\sigma_3}=\frac{2S_2-S_1-S_3}{S_1-S_3}=2 \frac{\sigma_2-\sigma_3}{\sigma_1-\sigma_3}-1 \]

\(\mu_{\mathrm{o}}\)稱為應力羅德引數，它反映了中間主應力與其他兩個主應力的比值，和平均應力\(\sigma_\mathrm{m}\) 無關，故它是反映應力偏量特徵的一個量。

若有\(\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3\)則有

\[\begin{aligned}&-1\leqslant\mu_{\sigma}\leqslant1\\&-30^{\circ}\leqslant\theta_{\sigma}\leqslant30^{\circ}\end{aligned} \]

以下是集中特殊情況的\(\mu_\sigma\)值

單向拉伸狀態：\(\sigma_2=\sigma_3=0,\sigma_1>0\),則 \(\mu_{\sigma}=-1\),
純剪狀態：\(\sigma_1=-\sigma_3,\sigma_2=0\),則\(\mu_{o}=0\)
單向壓縮狀態：\(\sigma_1=\sigma_2=0,\sigma_3<0\),則 \(\mu_{\sigma}=1\)。

從以上討論可知，給定(\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\))可以確定(S\(_1,S_2,S_3\)),進而可確定(\(x\),y)或\((r_{o},\theta_{o})\)。反之，給出\((x,y)\)或\((r_{o},\theta_{o})\),可得\((S_1,S_{2},S_{3})\)。即，利用 $S_1+S_{2}+S_{3}=$0,容易得到

\[\begin{aligned}&S_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{6}}y=\sqrt{\frac{2}{3}}r_{e}\sin\left(\theta_{e}+\frac{2}{3}\pi\right)\\&S_{2}=\sqrt{\frac{2}{3}}y=\sqrt{\frac{2}{3}}r_{e}\sin\theta_{e}\\&S_{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{6}}y=\sqrt{\frac{2}{3}}r_{e}\sin\left(\theta_{e}-\frac{2}{3}\pi\right)\end{aligned} \]

即\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\to(S_1,S_2,S_3)\rightleftharpoons(x,y)\rightleftharpoons(r_\sigma,\theta_\sigma)\)

2.3 應力偏量和等效應變

和應力張量類似,可以將應變張量分解為如下兩部分

\[\begin{bmatrix} \varepsilon_x&\varepsilon_{xy}&\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{xy}&\varepsilon_y&\varepsilon_{yz}\\ \varepsilon_{zz}&\varepsilon_{yz}&\varepsilon_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_m&0&0\\ 0&\varepsilon_m&0\\ 0&0&\varepsilon_m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\varepsilon_x-\varepsilon_m&\varepsilon_{xy}&\varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{xy}&\varepsilon_y-\varepsilon_m&\varepsilon_{yz}\\ \varepsilon_{zz}&\varepsilon_{yz}&\varepsilon_z-\varepsilon_m \end{bmatrix} \]

式中：\(\varepsilon_{\mathrm{m}}=\frac{1}{3}(\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z})\)為平均應變，它只引起單元體的體積應變而不改變其形狀；體積應變\(\theta=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z=3\varepsilon_{\mathrm{m}}\)。注意，這裡的剪應變為工程應變的一半，即

\[\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\gamma_{xy}\:,\xi_{yz}=\frac{1}{2}\gamma_{yz}\:,\varepsilon_{zx}=\frac{1}{2}\gamma_{zx}\:。 \]

如果令

\[e_{ij}=\begin{bmatrix}e_{xx}&e_{xy}&e_{xx}\ \e_{xy}&e_{yy}&e_{yz}\ \e_{zz}&e_{yz}&e_{zz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_{x}-\varepsilon_{m}&\varepsilon_{xy}&\varepsilon_{zx}\\ \varepsilon_{zy}&\varepsilon_{y}-\varepsilon_{m}&\varepsilon_{yz}\\ \varepsilon_{zx}&\varepsilon_{yz}&\varepsilon_{z}-\varepsilon_{m}\end{bmatrix} \]

則可簡寫為

\[\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{\mathrm{m}}\delta_{ij}+e_{ij} \]

式中：\(\varepsilon_\mathrm{m}\delta_{ij}\)為應變球張量；\(e_{ij}\)應變偏張量，簡稱應變偏量。對於\(e_ij\),存在關係式\(e_i=\)
0,即不產生體積改變，只產生形狀改變。
類似地，可定義應變強度(或稱等效應變)為

\[\begin{aligned}\varepsilon_{i}&=\frac{1}{\sqrt{2}(1+\nu)}\sqrt{(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})^{2}+(\varepsilon_{y}-\varepsilon_{x})^{2}+(\varepsilon_{z}-\varepsilon_{z})^{2}+\frac{3}{2}(\gamma_{xy}^{2}+\gamma_{yz}^{2}+\gamma_{zz}^{2})}\\&=\frac{1}{\sqrt{2}(1+\nu)} \sqrt{(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2})^{2}+(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3})^{2}+(\varepsilon_{3}-\varepsilon_{1})^{2}}\end{aligned} \]

對於單向拉伸狀態，\(\varepsilon_x=\varepsilon,\varepsilon_y=\varepsilon_x=-\nu\varepsilon,\gamma_{xy}=\gamma_{yz}=\gamma_{zz}=0\),則有 \(\varepsilon_i=\varepsilon\)。應變強度有時也稱為等效應變或廣義應變，其作用是將一個複雜應力狀態的應變化為一個相同效應的單向應力狀態的主應變\(\varepsilon_\mathrm{l}\) 。
對於塑性變形，泊松比\(\nu\)接近於0.5,故應變強度常採用如下簡單形式

\[\varepsilon_{i}^{p}=\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2})^{2}+(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3})^{2}+(\varepsilon_{3}-\varepsilon_{1})^{2}} \]

或者

\[\varepsilon_{i}^{p}=\frac{\sqrt{2}}{3} \sqrt{(\varepsilon_{x}-\varepsilon_{y})^{2}+(\varepsilon_{y}-\varepsilon_{z})^{2}+(\varepsilon_{z}-\varepsilon_{z})^{2}+\frac{3}{2}(\gamma_{xy}^{2}+\gamma_{yz}^{2}+\gamma_{zz}^{2})} \]

或者用應力偏量來表示

\[\begin{aligned}\varepsilon_{i}^{\mathrm{p}}&=\sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{e_{x}^{2}+e_{y}^{2}+e_{z}^{2}+\frac{1}{2}(\gamma_{xy}^{2}+\gamma_{yz}^{2}+\gamma_{zz}^{2})}\\&=\sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{e_{ij}e_{ij}}\quad\text{(取正值)}\end{aligned} \]

同樣地,可以定義剪應變強度(或稱等效剪應變)為

\[\gamma_i=2 \sqrt{J_2}=\sqrt{3}\varepsilon_i \]

不難驗證，在純剪下情況下有 \(\varepsilon_1=\varepsilon_3=\frac{1}{2}\gamma>0\),因此 \(\gamma_i=\gamma=2\sqrt{J_2}\)。
仿照前述的主應力空間的定義，也可以構造一主應變空間，即以\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\)為正交座標軸建立一個三維空間。進而，可定義如下的應變羅德引數\({\mu_\epsilon}\)和應變羅德角\(\theta_\epsilon\)

\[\mu_\epsilon=\frac{2\varepsilon_2-\varepsilon_1-\varepsilon_3}{\varepsilon_1-\varepsilon_3}=\sqrt{3}\mathrm{tan}\theta_\epsilon \]

其變化範圍為一1\(\leqslant\mu_{\epsilon}\leqslant1\)。其中的三個特殊情況如下​
(a)單向拉伸狀態：\(\varepsilon_1>0,\varepsilon_2=\varepsilon_3=-\nu\varepsilon_{1}\),則\(\mu_\epsilon=-1\)。
(b)純剪狀態\(:\varepsilon_1=-\varepsilon_3>0,\varepsilon_2=0\),則\(\mu_\epsilon=0\)。
(c)單向壓縮狀態：\(\varepsilon_3<0,\varepsilon_1=\varepsilon_2=-\nu\varepsilon_3\),則\(\mu_\epsilon=1\)。

應力羅德參數列示了一點應力狀態的特徵,而應變羅德引數則表示了一點應變狀態的特徵。

2.4 初始屈服條件和初始屈服曲面

1.屈服條件的一般概念

物體在外力作用下最初呈彈性響應，當載荷達到一定程度時物體內應力較大處開始進入塑性狀態或達到屈服。問題是應力狀態滿足怎樣的條件時材料將達到屈服？我們將物體內一點開始達到屈服時應力所滿足的關係式稱為初始屈服條件，有時簡稱為屈服條件(yield criterion),又稱為塑性條件，它在應力空間中對應的曲面稱為屈服面(yield surface)。
對簡單應力狀態，屈服條件很容易確定。如對於單向拉伸，當拉應力\(\sigma\)達到材料屈服極限\(\sigma_\mathrm{s}\)時開始屈服，所以屈服條件可寫為

\[\sigma=\sigma_{s}\quad\text{或}\quad\sigma-\sigma_{s}=0 \]

對純剪狀態,當剪應力\(\tau\)達到材料剪下屈服極限\(\tau\)時開始屈服,其屈服條件為

\[\tau=\tau_{s}\quad\text{或}\quad\tau-\tau_{s}=0 \]

在一般情況下，應力狀態是由六個獨立的應力分量確定的，顯然不能簡單地取某個應力分量作為判斷是否開始屈服的判據，更何況這六個分量還和座標軸的選擇有關。但是，可以肯定，一般情況下，屈服條件應該和這六個應力分量有關，還和材料的性質有關，即複雜應力狀態下的屈服條件可以寫成下面的函式關係

\[f(\sigma_{x},\sigma_{y},\sigma_{z},\tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx})=0\quad\text{或}\quad f(\sigma_{ij})=0 \]

現在的目標就是要確定函式\(f\)的具體形式。對於單拉或純剪狀態，\(f\)可用實驗確定，但對於複雜應力狀態則要採用理論分析加實驗測試相結合的研究方法。

2.屈服條件的簡化及屈服面的幾何形狀

首先來分析初始屈服面應具有的性質。

性質 1 在應力空間中，屈服面是母線平行於等傾線\(L\)的等截面柱體。

對於初始各向同性的材料，屈服和應力方向無關，故可以在主應力空間內問題。屈服函式\(f\)應該用與座標軸的洗擇無關的應力不變數來表示，因而為

\[f(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)=0\quad\text{或}\quad f(I_1(\sigma_{ij}),I_2(\sigma_{ij}),I_3(\sigma_{ij}))=0 \]

考慮到靜水應力(各向均勻應力狀態)不影響屈服,上式還可寫為

\[f(S_1,S_2,S_3)=0 \]

\(f(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)=0\) 表示一個曲面， \(f(S_1,S_2,S_3)=0\) 表示π平面上的一曲線C，即屈服曲線。

因為總要在應力的大小達到一定數值時才會屈服，故曲線\(C\) 不會透過原點\(O\), 且\(C\)將把原點包圍在內部；當應力點處於曲線內部時呈彈性狀態，處於曲線\(C\)上的點進入塑性狀態，故屈服曲線是\(\pi\)平面上一封閉曲線。而過屈服線上任一點與\(L\)平行的直線上的點集的應力偏量相同，故在應力空間中，屈服面是母線平行\(L\) 的等截面柱面，如圖 2.4 所示。

性質 2 屈服曲線是外凸的。

​ 由\(O\)點出發的射線與屈服曲線只能交於一點，因為材料初始屈服只能有一次，圖 2.5 的情況不可能存在，即屈服曲線\(C\)對座標原點是外凸的(證明見 3.2節)。

性質 3 屈服曲線關於\(\sigma_1^{\prime},\sigma_2^{\prime},\sigma_3^{\prime}\)對稱。

​ 由初始各向同性假設可知，若在應力狀態(\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)\)下屈服，則在(\(\sigma_1,\sigma_3,\sigma_2)\)下亦屈服，但它們在\(\pi\)平面的投影(S\(_1,S_2,S_3\))及(S\(_1,S_3,S_2\))關於\(\sigma_1^{\prime}\)軸對稱，故屈服曲線以\(\sigma_1^{\prime}\)軸對稱。同理，也以\(\sigma_2^{\prime}\)和\(\sigma_3^{\prime}\)為對稱軸(這裡\(\sigma_1^{\prime},\sigma_2^{\prime},\sigma_3^{\prime}\)為\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\)在\(\pi\) 平面上的投影)。

性質4 屈服曲線以\(\sigma_1^{\prime},\sigma_2^{\prime},\sigma_3^{\prime}\)的垂線為對稱軸。

假定拉、壓屈服極限(初始屈服)的絕對值相等，則當(S_1,S_2,S_3)在屈服線上時，(-S_{1},-S_{2},-S_{3})也必在屈服線上。由以前的分析知，(S_{1},S_{2},S_{3})在$\pi $平面 上的座標為(對初始狀態適用)

\[\begin{aligned}&x=\frac{\sqrt{2}}{2}(S_{1}-S_{3})\\&y=\frac{2S_{2}-S_{1}-S_{3}}{\sqrt{6}}\end{aligned} \]

\((-S_1,-S_2,-S_3)\)的座標為

\[\begin{aligned}&x^{\prime}=- \frac{\sqrt{2}}{2}(S_{1}-S_{3})\\&y^{\prime}=- \frac{2S_{2}-S_{1}-S_{3}}{\sqrt{6}}\end{aligned}\quad(\text{圖 2.6 中的點 }K) \]

則與\(K\)點關於\(\sigma_\mathrm{i}^{\prime}\)對稱的點\(H\)必在屈服線上。但\(H\) 和\(M\) 是關於\(\sigma_1^{\prime}\)的垂線為對稱的，故\(\sigma_1^{\prime}\)的垂線是屈服曲線的對稱軸。同理，\(\sigma_2^{\prime}\)和\(\sigma_3^{\prime}\)的垂線亦為對稱軸。

綜上，屈服曲線共有六個對稱軸，由 12 段相同的弧線所組成。因此，只要能確定\(\pi\)平面上 30°範圍內屈服曲線的形狀，即可獲得整個屈服曲線。這時採用代表應力狀態的向量\(\overrightarrow {OP}\)(圖2.6)位於某一選定幅角中的應力組合就足夠了。例如，決定應力力狀態的向量\(\overrightarrow {OP}\)(圖 2.6)位於某一選定幅角中的應力組合就足夠了。例如，決定應力向量\(\overrightarrow {OP}\)位置的應力羅德角取為\(0\leqslant\theta_{\mathrm{o}}\leqslant\) \(30^{\circ}\)，或相應的 \(\mu_{\circ}\) 從 0(純剪下)到 1(單向壓縮)的範圍。由於薄壁管壓縮試驗較難實現(易失穩),通常採用拉伸實驗以代之，也即試驗是在\(一1\leqslant\mu_\sigma\leqslant0\) 的範圍內進行。由此可得出 \(-30^{\circ}\leqslant\theta_\sigma\leqslant0\) 範圍內的屈服曲線，從而確定了整個屈服面的具體形狀。

但是，即使在 30°範圍內，要完全依靠試驗得出屈服曲線也是相當困難的。實際上，往往要根據有限的試驗結果，對材料進人塑性狀態的原因做出假設，藉此建立屈服條件，然後再用實驗加以驗證。

3.屈服曲線的確定

當$\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3 \(時，有\)-1\leqslant\mu_{\sigma}\leqslant1$在 $\pi $ 平面上有 $-30^{\circ\leqslant\theta_\sigma\leqslant30}\circ $

(1) 由單拉實驗知

\[\sigma_{1}=\sigma_{s} ,\quad\sigma_{2}=\sigma_{3} = 0 ,\quad\mu_{\sigma}=- 1 ,\\\theta_{\sigma}=- 30^{\circ},\quad r_{\sigma}= \sqrt{2J_{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\sigma_{s} \]

可確定A點

（2）由純剪試驗知道

\[\sigma_{1}=\tau_{s} ,\quad\sigma_{2}=0 ,\quad\sigma_{3}=- \tau_{s} ,\\\mu_{\sigma}=0 ,\quad\theta_{\sigma}=0 ,\quad r_{\sigma}=\sqrt{2}\tau_{s} \]

可以確定B點

(3)\(AB\)之間的曲線需透過雙向應力試驗確定 例如，使用兩端不封閉的薄壁圓管(平均管徑 \(r\),壁厚 \(t)\)進行在內壓和軸向拉伸聯合作用下的試驗。

設內壓為 \(p\), 軸向拉力為 \(T\),則有

\[\sigma_\theta=\frac{pr}{t},\quad\sigma_z=\frac{T}{2\pi rt},\quad\sigma_r\approx0 \]

[推導上式的提示]

(1) \(pr\int _{0}^{\pi }\)sin\(\theta\)d\(\theta = 2\sigma _{\theta }t\) ;

(2) \(T= 2\pi rt\sigma _{z}\) ;

\((3)\sigma_{r}\approx0(即沿壁厚迅速衰減為零)\)。

實際上，薄壁圓管承受內壓、軸向拉力以及扭轉的試驗是宏觀研究塑性變形的基本試驗方法。自從 1900 年 Guest 採用以來，許多學者用薄壁圓管試樣來研究此類在複雜應力狀態下的屈服條件、強化條件和應力-應變關係。

2.5 常用的屈服條件

1.Tresca 屈服條件

法國工程師 H. Tresca 在 1864 年做了一系列將韌性金屬擠過不同形狀模子的試驗。他發現，在變形金屬的表面有很細的痕紋，它們的方向很接近最大剪應力的方向。根據這一現象，他認為金屬的塑性變形是由於剪下應力引起金屬中晶體滑移而造成的。從這些金屬擠壓試驗結果，Tresca 提出瞭如下的屈服條件。
當最大剪應力達到材料所固有的某個定值時，材料開始進入塑性狀態，即開始屈服。

這個條件就稱為最大剪應力條件,又稱 Tresca 條件,其數學表示式為

\[\tau_{\max}=\frac12k \]

這裡k是和材料有關的一個常數。若已知主應力大小順序為 $\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3 $，上式可寫為

\[\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{k}{2} \]

即

\[\sigma_1-\sigma_3=k\quad\text{或}\quad(\sigma_1-\sigma_3)-k=0 \]

一般情況下,往往無法事先判明各點的三個主應力大小的次序, 所以通常將該條件寫成如下形式

\[\mid\sigma_1-\sigma_2\mid\leqslant k\\\mid\sigma_2-\sigma_3\mid\leqslant k\\\mid\sigma_3-\sigma_1\mid\leqslant k \]

上式中至少有一個等式成立時，材料才開始塑性變形，即達到屈服，否則仍處於彈性階段。因為 \(k>0\),上述三個式子不可能同時取等號。

如要將該條件表示成完整的式子,可將式改寫成一般形式

\[[(\sigma_1-\sigma_2)^2-k^2][(\sigma_2-\sigma_3)^2-k^2][(\sigma_3-\sigma_1)^2-k^2]=0 \]

並將其展開，並用不變數 \(I_2(S_{ij}),I_3(S_{ij})\)來表示,則為

\[4I_{2}^{3}(S_{ij})-27I_{3}^{2}(S_{ij})-9k^{2}I_{2}^{2}(S_{ij})+6k^{4}I_{2}(S_{ij})-k^{6}=0 \]

很顯然,這個式子太複雜了,不方便使用。因此,當主應力大小次序未知時,一般不用。

再來觀察Tresca條件的屈服曲線形狀。

由式(2.2.1)的第一式，\(x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sigma_{1}-\sigma_{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}k=\)const 知，在 \(\pi\) 平面上\(-30^\circ\geqslant\) $\theta_{\mathrm{。}}\geqslant\(30°的範圍內，屈服曲線是一直線。再據前面討論的對稱性即可得出結論： Tresca 屈服條件在\)\pi\(平面上是一個正六邊形，稱為 Tresca 六邊形。在三維應力空間中，屈服面是一個以\)L\(為軸線的正六稜柱體。Tresca 六邊形的外接圓的半徑為\)r=\sqrt{\frac{2}{3}}k\(,其內切圓的半徑為\)\frac k{\sqrt{2}}$,如圖 2.10 所示。

​ 圖 2.10 Tresca 和 Mises 屈服曲線

Tresca 屈服條件的特點是：
物理觀念明確，有清楚的物理解釋；當已知三個主應力次序\(\sigma_1\geqslant\sigma_2\geqslant\sigma_3\)時，是主應力的線性函式，表示式形式簡單。 未考慮中間主應力 σ_2 對屈服的貢獻； 當未知主應力順序時，形式過於複雜； 屈服曲線上有角點，為非光滑曲線，這給數學處理上帶來了困難。

2. Mises 屈服條件

當主應力大小順序未知時，Tresca 條件的表示式用於空間問題時在數學解答上是有困難的。德國的 R. von Mises 於 1913 年提出，可將 Tresca 六邊形的外接圓作為屈服曲線，其方程為

\[x^2+y^2=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}k\right)^2 \]

\[\text{將 }x=\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{3})}{\sqrt{2}},y=\frac{(2\sigma_{2}-\sigma_{1}-\sigma_{3})}{\sqrt{6}}\text{代人,得}\\(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}=2k^{2}\\\text{據 }\sigma_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}},\text{有}\\\sigma_{i}=k \]

Mises 在提出這個屈服條件時，認為自己提出的條件只是近似的，並非準確的屈服條件。但以後的實驗結果表明，對於韌性金屬材料，它更接近於實驗情況。該條件表明，當應力強度達到某一確定數值時，材料即進入屈服狀態，它就稱為應力強度不變條件，又稱 Mises 屈服條件(也有稱 Huber-von Mises 屈服條件)。在應力空間中，Mises 條件表示的屈服面是以\(L\)為軸線、垂直於\(\pi\)平面的圓柱面。
Mises 屈服條件考慮了中間應力對屈服的影響，在形式上克服了 Tresca 條件的缺點，而且可以用一個統一的式子來表示。
據\(\sigma_i\)的表示式，Mises 條件還可以寫為

\[(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{z})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{zx}^{2})=2k^{2} \]

在 Mises 條件提出之後，不少學者試圖對其物理意義進行解釋。現擇要介紹
如下。

1. 德國 H. Hencky 於 1924 年指出，Mises 條件是用一點的形狀改變比能來
   衡量屈服與否的能量準則。
   根據彈性理論，彈性總比能為

   \[\begin{aligned}\text{W}&=\frac{1}{2}(\sigma_{1}\varepsilon_{1}+\sigma_{2}\varepsilon_{2}+\sigma_{3}\varepsilon_{3})\\&=\frac{1}{2E}[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}-2\nu(\sigma_{1}\sigma_{2}+\sigma_{2}\sigma_{3}+\sigma_{3}\sigma_{1})]\end{aligned} \]

   體積變化比能為

\[W_v=\frac{1}{2}(\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3})(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3)=\frac{1-2\nu}{6E}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2 \]

​ 形狀改變比能(又稱彈性形變比能、歪形能)定義為\(W_\mathrm{d}=W-W_\mathrm{v}\), 則

\[W_{\mathrm{d}}=\frac{(1+\nu)}{6E}\Big[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\Big]=\frac{(1+\nu)}{3E}k^{2} \]

2. A. L. Nadai 於 1937 年提出,當八面體剪應力達到某一定值時,材料進入屈服狀態。這是由於 \(\tau_{5}=\sqrt{\frac{2}{3}J_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sigma_{i}=\frac{\sqrt{2}}{3}k\)
3. 前蘇聯力學家伊留中(A. A. Ilyushin)基於\(\frac{1}{3}k^{2}\) 提出,Mises 條件意味