演算法評測

演算法評測

演算法評測——複雜度記法

剛才說過，線性查詢的計算量為O(n)，二分查詢的複雜度為O(log n)。大多情況下，演算法的複雜度可以這樣定量評測。演算法評測一般使用複雜度記法（Order記法）。

複雜度記法表示的含義是，當演算法的輸入大小為n時，大致需要這麼多的計算量。

花費時間與n的大小無關，能在固定時間內完成的處理，其複雜度為O(1)。例如從雜湊中查詢資料，雖然要計算雜湊函式，但雜湊函式計算不依賴於n，所以複雜度為O(1)。而雜湊搜尋中，給定鍵的值（幾乎）是唯一的，因此透過鍵搜尋值的處理也是O(1)（也依賴於具體實現）。因此，雜湊搜尋整體複雜度為O(1)^[1]。

如前所見，線性查詢要從開頭開始查詢，最大要查詢n次。

某些情況下只需一次就能找到，但複雜度記法並不考慮這種特殊情況，而是表示平均值或最大值。因此記為O(n)。二分查詢為O(log n)。

像這樣用複雜度記法表示各種演算法，即可比較演算法的效能。線性查詢和二分查詢分別為O(n)和O(log n)，因此二分查詢的計算量比較少^[2]。

各種演算法的複雜度記法

各種演算法的複雜度記法中，下述幾種計算量經常出現。

O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n²) < O(n³) … < O(n^k) < O(2ⁿ)

越往右，複雜度越大。處理大規模資料時，也就是說n比較大時，實用演算法也就到O(n logn)附近。再高，複雜度就會隨著n的增加而急劇增大，經常導致計算無法結束。

感覺上而言，O(log n)比O(n)要快很多，O(n)和O(n log n)的差距不是很大，O(n)和O(n²)之間的鴻溝決定著著計算能否完成……。

關於速度問題，如果相當複雜的演算法能用O(n²)的計算完成，那也可以說“相當快”了，畢竟速度取決於演算法中的計算本身。例如，一般的基於比較的排序演算法無論怎麼最佳化，也不可能比O(n logn)快，這一點在理論上可以證明。因此，排序演算法能達到O(n logn)，就可以認為是高速演算法。

複雜度的概念不僅用於表示計算的時間，也可以用於表示空間。也就是說，複雜度記法不僅可以表示執行時間、操作步驟數，還可以表示記憶體使用量等。

上面講述了演算法評測。更為詳細的內容，請參考講解演算法的書籍。

演算法評測

複雜度記法

複雜度

時間複雜度（執行時間、操作步驟數）

空間複雜度（記憶體使用量）

紙巾能摺疊幾次？——O(logn)和O(n)的差距

剛才說過，線性查詢和二分查詢相比，資料量變大後，計算時間就會出現巨大差距。這裡的重點不是複雜度記法本身，而是利用複雜度記法比較演算法時，對演算法間差距的感覺。就是說要掌握O(log n)和O(n)在n增大時，對於複雜度差距的感覺。

再看個身邊的例子。準備一張紙巾，然後將其多次對摺。到底能對摺多少次呢？第一次只需對半摺疊即可，完全沒問題。第二次、第三次、第四次直到第五次應該也沒問題。但第六次就比較難折了，第七次和第八次完全折不動而不得不放棄。可能有人會想“折100次肯定沒問題！”，而實際上7次就是極限了。為什麼呢？

摺紙所需的勞動量，依賴於要折的紙張的厚度。假設這個厚度最初為1mm，那麼第一次摺疊之後就是2mm。兩次摺疊後是3mm……不對，是4mm。

這樣，厚度是1→2→4→8→16→32…這樣增加的。可以認為，設摺疊次數為n，計算量就按照2ⁿ增長。剛才看到，O(2ⁿ)是個相當大的複雜度，因此紙巾在n=8時無法摺疊也就可以理解了。

另外有文章介紹過，厚度為0.11mm的衛生紙摺疊25次後會達到富士山的高度^[3]。要摺疊富士山那麼高的紙……一般方法絕對做不到吧。

對演算法中指數增加、對數增加的感覺

計算量按照指數增加的演算法，只需一點點資料量，計算量就會變得龐大無比。與指數相反，只以對數增加的O(log n)的演算法，即使資料量變得非常大，也只需一點計算量就能解決，這點也能直觀地理解吧。

在思考演算法複雜度時，這種感覺是最重要的。例如要操作的資料有1000萬條，如果能選擇對數演算法，那麼只需幾十次計算就可以了。相反，如果選錯了演算法，使用O(n²)或O(2ⁿ)的演算法實現的話，寫出的程式即使只有幾百條資料，也要浪費相當多資源。

本文節選自《大規模WEB服務開發技術》一書

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