\(\text{Tarjan}\)
1.引入概念
1.強連通分量
1.定義
在有向圖 \(G\) 中，強連通分量就是滿足以下條件的 \(G\) 的子圖：
- 從任意一點出發，都有到達另一個點的路徑。
- 不存在一個或者幾個點，使得這個子圖加入這些點後，這個子圖還滿足上一個性質。
為什麼要限定”在有向圖中“而不是”在任何一個圖中“？這是因為在無向圖中，只要圖連通，那麼任意一點都有到另外一點的路徑，可以用並查集維護，這個時候 \(\text{Tarjan}\) 就沒有存在的必要了。
當然，後面 \(\text{Tarjan}\) 會有在無向圖中的用處。
2.性質
我們想一想，一個強連通分量中，既然每一個點都有到達另外一個點的路徑，那麼對於這個強連通分量中的任意一條邊 \(u\rightarrow v\) 的兩個端點來說，都存在 \(v\) 到 \(u\) 的路徑，那麼這個強連通分量一定在一個”大環“上。
當然了，這個”大環”不是嚴格意義上的環，它可以經過重複的點，就像這樣：
這個圖告訴了我們什麼？一個強連通分量要麼是一個大環，要麼是由幾個有交點的小環組成的。
後面的講解中，我們會反覆提到“大環”，請注意這個概念。“大環”表示一個子圖中，從任意一個點出發，不重不漏地經過每條邊一次，最後能夠回到這個點。“大環”和強連通分量、環的關係是這樣的：環 \(\subsetneq\) “大環”，“大環” \(\subsetneq\) 強連通分量。
2.時間戳
1.定義
按照 \(\text{DFS}\) 遍歷的過程，以每個結點第一次被訪問時的順序，依次給 \(n\) 個結點標上 \(1\sim n\) 的標記，那麼這個標記就叫做時間戳，記作 \(dfn\)。
2.作用
這個在講 \(\text{Tarjan}\) 的縮點演算法邏輯的時候會講到。
3.邊的分類
1.深度優先樹的定義
我們在執行 \(\text{DFS}\) 演算法的時候，會經過 \(n-1\) 條邊和所有 \(n\) 個點，這些邊和點會構成一棵樹，叫做深度優先樹。
就比如下面這個圖，它的深度優先樹就是紅色邊：
這裡說明一個事情：本篇中所有形如 “\(u\) 的子樹”的描述，都包括 \(u\) 本身，除非特殊說明。以及，所有形如“\(u\) 的祖先”的描述，都包括 \(u\) 本身，除非特殊說明。
2.邊的分類
樹邊：指深度優先樹中的邊。
後向邊：在一棵深度優先樹中，從一個點 \(u\) 出發，連線到其祖先 \(anc\) 的邊，這裡可能有 \(anc=u\)。
前向邊：在一棵深度優先樹中，從一個點 \(u\) 出發，連線到其子樹中一個點 \(v\) 的邊，這裡不可能有 \(v=u\)。
橫叉邊：指其它所有的邊。
4.割點、點雙連通、割邊、邊雙連通
1.定義
在一個圖 \(G\) 中：
割點：刪去一個點 \(u\) 及所有與 \(u\) 相關的邊，圖就不連通了，那麼 \(u\) 稱為 \(G\) 的割點。
點雙連通：圖中沒有割點，就說 \(G\) 是點雙連通的。
割邊：刪去一條邊 \(e\) 後，圖就不連通了，那麼稱 \(e\) 為 \(G\) 的割邊。
邊雙連通：圖中沒有割邊，就說 \(G\) 是邊雙連通的。
2.性質
割點、割邊都是無向圖中的概念。
一個圖的割點不止一個，這就是 \(\text{Tarjan}\) 演算法存在於無向圖中的意義。
如果一條邊 \(e=u\rightarrow v\) 是割邊，那麼 \(u\) 和 \(v\) 是割點。
2.\(\text{Tarjan}\) 的縮點演算法邏輯
1.定義
\(\text{Tarjan}\) 的經典用處就是拿來縮點。
首先，我們需要了解為什麼要縮點。在一個強連通分量中，每個點都可以互相到達，那麼這個強連通分量就可以縮成一個點，每個強連通分量的子問題內部處理。這就是縮點的原因。
2.不同型別的邊在強連通分量中的作用
樹邊：以下的討論都是基於樹邊展開的。
後向邊：十分有用。一條後向邊 \(u\rightarrow anc\) 可以和深度優先樹上 \(anc\) 到 \(u\) 的路徑形成一個環，而環上每個點都是可以互相到達的。
前向邊：沒啥用。因為其不能構成環，對縮點沒有幫助。
橫叉邊：部分有用。對於一條橫叉邊 \(u\rightarrow v\) 而言，如果有一條路徑，從 \(v\) 出發，到達一個點 \(anc\)，而這個 \(anc\) 又恰好是 \(u\) 的祖先結點，那麼 \(u\rightarrow v\) 這條邊就在一個環上了。
3.主演算法邏輯
看了上面，你應該就知道 \(\text{Tarjan}\) 要幹嘛了。它的作用，就是對於每一個點 \(u\)，找到與 \(u\) 能夠構成”大環“的所有結點。
那麼怎麼找？前面說過，”大環“只能由三種邊構成，樹邊、後向邊和橫叉邊。為了找到透過“後向邊”和“橫叉邊”構成的環，\(\text{Tarjan}\) 演算法在 \(\text{DFS}\) 的過程中維護了一個棧。
當訪問到某一個點 \(u\) 的時候，棧中需要保留以下兩類結點：
- 深度優先樹上 \(u\) 的祖先結點。這是為了維護後向邊。
- 已經訪問過，且存在一條路徑到達 \(u\) 的祖先結點的結點。這是為了維護橫叉邊。
一句話概括，就是能夠到達 \(u\) 且已經訪問過的結點。
我們想想，對於一個在棧中的點 \(t\)，什麼情況下，\(u\) 和 \(t\) 才會同在一個”大環“上？一定要有一條 \(u\rightarrow t\) 的邊才行嗎？不是的，只要有一條 \(u\rightarrow t\) 的路徑就可以了。什麼時候才會有一條 \(u\rightarrow t\) 的路徑？
對於所有從 \(u\) 出發的邊 \(u\rightarrow v\)，有兩種情況：
- \(v\) 沒有被訪問過。這說明 \(v\) 在 \(u\) 的子樹中，\(u\rightarrow v\) 這條邊是樹邊。只要 \(v\) 的子樹中有一條邊連向 \(t\)，說明 \(u,v,t\) 在一個“大環”上。
- \(v\) 被訪問過。如果 \(v\) 不在棧中，那麼這條邊並沒有什麼用處；否則 \(u,v,t\) 在一個“大環”上。
問題似乎已經解決了，不是嗎？我們知道什麼情況下 \(u,v,t\) 在一個大環上。那這要怎麼寫進程式碼呢？
注意，我們的思路已經完成，下面的一切定義和概念，都不是思路里面本身就存在的，只是為了實現程式碼方便。
我們定義一個追溯值 \(low\)，那麼對於一個結點 \(u\)，其追溯值 \(low_u\) 定義為滿足以下條件結點 \(v\) 的最小時間戳：
- \(v\) 在棧中。
- 存在一條從 \(u\) 的子樹出發的邊，以 \(v\) 為終點。
接下來就徹底到程式碼部分了。
4.程式碼邏輯
首先，日常敲一個空殼。
void Tarjan(int u){
}
接下來，我們既然已經訪問到 \(u\) 這個結點了，當然要把 \(u\) 入棧，並且初始化 \(u\) 的 \(dfn\) 和 \(low\)。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
}
初始化完了，我們應該進入到主演算法部分。回頭再看看主演算法邏輯，你會發現主演算法的核心就是掃描每一條邊，後面的任何處理都只跟邊有關。我用的是 \(\texttt{vector}\) 存圖，看不慣的同學可以看註釋瞭解一下什麼意思。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
for(int v:g[u]){//掃描每一條從u出發到v結束的邊
}
}
我們的主演算法邏輯中，邊是不是分兩種？我們先來討論第一種，也就是 \(v\) 沒有被訪問過的情況。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
for(int v:g[u]){//掃描每一條從u出發到v結束的邊
if(!dfn[v]){//v還沒有被訪問過
Tarjan(v);//掃描v的子樹
}
}
}
掃描完了 \(v\) 的子樹，總不能對 \(u\) 啥都不幹吧？我們想想 \(low\) 值此時該怎麼更新。
由於 \(v\) 的子樹一定是 \(u\) 的子樹，所以 \(low_u=\min(low_u,low_v)\)。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
for(int v:g[u]){//掃描每一條從u出發到v結束的邊
if(!dfn[v]){//v還沒有被訪問過
Tarjan(v);//掃描v的子樹
low[u]=min(low[u],low[v]);//更新u的low值
}
}
}
那麼我們現在來討論第二種情況，也就是 \(v\) 被訪問且 \(v\) 在棧中。這種情況下，這個結點 \(v\) 滿足“存在一條從 \(u\) 出發的邊，以 \(v\) 為終點”，所以更新。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
for(int v:g[u]){//掃描每一條從u出發到v結束的邊
if(!dfn[v]){//v還沒有被訪問過
Tarjan(v);//掃描v的子樹
low[u]=min(low[u],low[v]);//更新u的low值
}
else if(vis[v]){//v被訪問過且在棧中
low[u]=min(low[u],dfn[v]);//更新u的low值
}
}
}
這個時候“是否在一個強連通分量中”已經判完了，但是我們總是要用一個點來代表一個強連通分量的呀，並不是每個點都有資格代表一個強連通分量的。
注意到之前沒有自主的出棧操作，也就是說，else if(vis[v])這一塊可能存在前向、後向、橫叉三種邊。
對於前向邊 \(u\rightarrow v\)，\(dfn_v>dfn_u\) 恆成立，所以 \(low_u\) 不會更新。
對於後向邊 \(u\rightarrow v\)，\(dfn_v<dfn_u\) 恆成立，所以 \(low_u\) 可能更新。
對於橫叉邊 \(u\rightarrow v\)，由於“\(v\) 被訪問過且在棧中”，所以 \(v\) 比 \(u\) 先訪問，所以 \(dfn_v<dfn_u\) 恆成立，\(low_u\) 可能更新。
我們要找到一個點“能夠代表一個強連通分量”，這個點應該滿足什麼性質？當然是以它出發的邊中，既無橫叉邊，又無後向邊。這樣的點在每一個強連通分量中只有一個，所以具有代表性。
下證為什麼這樣的點在每一個強連通分量中只有一個，懂得的同學可以不看。
很簡單，如果有兩個，以其中一個為祖先開始沿深度優先樹 \(\text{DFS}\) 遍歷，另一個點是連不回來的，沒有向回的路徑，也就是說這兩個點不是能互相到達的。與“強連通分量”矛盾，舍。
這裡就體現了 \(low\) 陣列的作用了。什麼情況下，以一個點 \(u\) 出發的邊中，既無橫叉邊，又無後向邊？只有 \(low_u=dfn_u\) 的時候。
在棧中，這個點 \(u\) 到棧頂的所有點都能構成一個“強連通分量”。也就是說，當且僅當 \(dfn_u=low_u\) 的時候，我們才把 \(u\) 以上的所有點出棧，使它們構成一個強連通分量。
為什麼這樣是對的？因為棧中從 \(u\) 到棧頂所有點，除 \(u\) 以外，都是有橫叉邊或者後向邊的。也正因為如此，它們才會被壓在棧中。
現在 \(u\) 出現了，它可以代表一個強連通分量，於是棧中所有點都找到了自己的“歸屬”。
於是，至此 \(\text{Tarjan}\) 縮點功德圓滿。
void Tarjan(int u){
low[u]=dfn[u]=++tim;//tim表示訪問到的時間
stk[++tp]=u;//用陣列模擬棧
vis[u]=true;//vis[u]表示u是否在棧中
for(int v:g[u]){//掃描每一條從u出發到v結束的邊
if(!dfn[v]){//v還沒有被訪問過
Tarjan(v);//掃描v的子樹
low[u]=min(low[u],low[v]);//更新u的low值
}
else if(vis[v]){//v被訪問過且在棧中
low[u]=min(low[u],dfn[v]);//更新u的low值
}
}
if(dfn[u]==low[u]){//能夠代表一個強連通分量的點
int v;
++scc_cnt;//增加一個強連通分量
do{
v=stk[tp--];//出棧
vis[v]=false;//不再在棧中
scc[v]=scc_cnt;//v所屬的最大強連通分量是scc_cnt
}while(u!=v);
}
}
給道例題
3.\(\text{Tarjan}\) 的割點割邊演算法邏輯
1.定義
首先，我們要明白，這一類問題是多種多樣的，而我們要用一個演算法全部解決。
這類問題可不是簡簡單單判個雙連通就能夠結束的。圖中有多少個割點？多少條割邊？刪去割點最多剩下多少連通塊？
2.主演算法邏輯
首先我們來說割點。
割點演算法的起步當然是判定割點。我們還是以深度優先樹為基，討論：什麼情況下一個點才是割點？
考慮割點定義。如果把某個點 \(u\) 刪除，圖不連通，那麼 \(u\) 就是割點。在深度優先樹上，這條性質表現為：在 \(u\) 的兒子集合 \(son_u\) 中，如果存在一個點 \(v\in son_u\)，使得 \(v\) 的子樹中沒有點能夠到達 \(u\) 的祖先（不包括 \(u\)），那麼自然而然 \(u\) 就是一個割點。
欸，但是有一個特例。如果 \(u\) 本身就是深度優先樹的根節點，那一定沒有點可以到達 \(u\) 的祖先（不包括 \(u\)），是不是 \(u\) 一定是割點呢？不是的。如果 \(u\) 只有一個子樹，那麼 \(u\) 不是割點；如果 \(u\) 有兩個以上的子樹，說明 \(u\) 就一定是割點了。
那要怎麼寫進程式碼呢？上一次我說這句話的時候，引出了追溯值 \(low\)，這次也不會例外。
我們定義一個追溯值 \(low\)，那麼對於一個結點 \(u\)，它的追溯值 \(low_u\) 就表示其子樹中所有結點能夠抵達的時間戳最小的結點。
我們想想，是不是當 \(dfn_u\le low_v(v\in son_u)\) 的時候，就說明 \(u\) 是一個割點了？因為沒有方式能夠從 \(v\) 的子樹到達 \(u\) 的祖先（後向邊）或者離開 \(u\) 的子樹通向外界（橫叉邊）。這裡 \(u\) 的祖先不包括 \(u\)。
為什麼 \(dfn_u=low_v\) 時 \(u\) 依然是割點呢？因為 \(u\) 刪去後，和 \(u\) 所有相關的邊都會刪去，就算能夠到達 \(u\) 也沒關係。
那麼割點就這樣愉快地判完了，比縮點簡單得多。
割邊與割點的判定十分相似，甚至一模一樣。如果沒有方式能夠從 \(v\) 的子樹到達 \(u\) 的祖先（後向邊）或者離開 \(u\) 的子樹通向外界（橫叉邊），說明 \(e=u\rightarrow v\) 就是一條割邊了。\(u\) 的子樹不包括 \(u\)。
我們觀察到這裡實際上和割點判定只有一個條件不一樣，也就是“\(u\) 的子樹不包括 \(u\)”。那麼，在割點中，就算 \(dfn_u=low_v\)， \(u\) 依然是割點，原因已經解釋。但是，在割邊中，\(dfn_u=low_v\) 的時候，\(e\) 就不是一條割邊了，因為 \(u\) 並不會隨 \(e\) 的刪去而刪去，\(v\) 子樹中的結點仍然可以到達 \(u\)。所以，割邊的判定條件是：\(dfn_u<low_v\)。
3.程式碼
這割點割邊可比縮點好寫多了，也好理解多了……
在這裡只放一個割點的程式碼：
void Tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++tim;//初次訪問
int cnt=0;//砍掉u後圖分裂成cnt連通塊
for(int v:g[u]){//掃描u的每一個兒子v
if(!dfn[v]){
Tarjan(v);//掃描v子樹
low[u]=min(low[v],low[u]);//更新low值
if(dfn[u]<=low[v]){
++cnt;
}
}
else{
low[u]=min(low[u],dfn[v]);//更新u子樹中能夠到達的結點dfn最小值
}
}
if(u!=anc){
++cnt;
}
if(cnt>=2){
iscut[u]=true;//其是割點
}
}