CF 1913 D

題目描述

給定一個所有數互不相同的長度為 \(N\) 的序列 \(P\)，你可以執行以下操作任意次：

• 選擇一對 \(1\le l < r\le N\)，並把其中除最小值外的所有元素刪除。

求最終可以得到的不同序列數量。

思路

我們考慮怎樣透過刪除最少的元素來刪除 \(i\)，很明顯，就是選擇區間 \([l,i]\) 或 \([i,r]\)，這裡 \(l\) 是最大的滿足 \(l<i且 P_l<P_i\) 的下標，而 \(r\) 是最小的滿足 \(r>i且 P_r<P_i\) 的下標。這個可以使用單調棧求出。

我們每次都只刪除這種最小區間，因為這樣會使最終的方案更多。

令 \(dp_{0/1,i}\) 表示考慮前 \(i\) 個數，最後一個數選/不選的種類數。

我們有 \(dp_{0,i}\leftarrow dp_{0/1,l_i}\)（因為沒有任何影響，隨便怎麼選，但如果不刪除 \(i\)，那麼 \(l_i+1\) 到 \(i\) 都無法刪除）。以及 \(dp_{1,i}\leftarrow dp_{1,j}(l_i\le j<i),dp_{0,l_i}\)，因為刪掉 \(i\) 就意味著刪掉 \(l_i+1\) 到 \(i\)，而 \(l_i\) 是既可以刪也可以不刪。這個可以使用字首和最佳化。

時空複雜度均為 \(O(N)\)。

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 300001, MOD = 998244353;

int t, n, a[MAXN], stk[MAXN], top, dp[2][MAXN], sum[MAXN];

void Solve() {
  cin >> n;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    cin >> a[i];
  }
  top = 0;
  dp[1][0] = sum[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(; top && a[stk[top]] >= a[i]; --top) {
    }
    int j = stk[top];
    dp[0][i] = (j ? (dp[1][j] + dp[0][j]) % MOD : 0);
    dp[1][i] = (0ll + dp[0][j] + sum[i - 1] - (j ? sum[j - 1] : 0) + MOD) % MOD;
    sum[i] = (sum[i - 1] + dp[1][i]) % MOD;
    stk[++top] = i;
  }
  cout << (dp[0][n] + dp[1][n]) % MOD << "\n";
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
  for(cin >> t; t--; Solve()) {
  }
  return 0;
}