這個問題涉及對數和指數的性質。我們可以用數學公式來清晰地表達和證明這一等式。首先，我們有：
\[a^{\log_b(n)}
\]
我們想證明這等於：
\[n^{\log_b(a)}
\]
證明如下：
-
定義對數：
\[\log_b(n) = x \]意味著
\[b^x = n \] -
應用對數定義：
由定義，我們有
\[a^{\log_b(n)} = a^{x} \]和
\[n^{\log_b(a)} = n^{y} \]其中
\[y = \log_b(a) \] -
變換指數表示式：
由於
\[b^x = n \]和
\[b^y = a \]，我們可以將原式改寫為：
\[a^{\log_b(n)} = (b^y)^{x} = b^{xy} \]同樣地，
\[n^{\log_b(a)} = (b^x)^{y} = b^{xy} \] -
證明等價性：
因為
\[b^{xy} = b^{xy} \]，所以：
\[a^{\log_b(n)} = n^{\log_b(a)} \]
透過上述步驟，我們證明了以a為底，指數為
\[\log_b(n)
\]
確實等於以n為底，指數為
\[\log_b(a)
\]
。