分形——自然界的幾何學 (轉)

分形——自然界的幾何學 (轉)[@more@]分形——自然界的幾何學
  B.B.Mandelbrot
 
 
      分形幾何扮演了兩種角色。它技術決定論混沌的幾何學，又是描述山巒、雲團和星系的幾何學。
 
      自然科學與幾何學總是攜手並進的。17世紀，開普勒發現能用橢圓描述行星繞太陽執行的軌道。這激勵了牛頓用萬有引力定律解釋這些橢圓軌道。同樣，理想的擺做往復運動可以用正弦波形表示。簡單的動力學常常和簡單的幾何外形相聯絡。這一種數學影像暗示，物體的形狀和作用於它的力之間有一種平滑的關係。在行星和擺的例子中還暗示物理學是決定論的，由的過去便能預測其未來。
 
      兩種新近的科學進展深深影響了幾何外形相聯絡。首先是由於認識到自然界充滿了某種稱為決定論混沌的事物。宇宙中許多表面看來服從決定論定律的簡單物理系統,其行為仍然是不可預測的。例如，受兩個力作用的擺。用決定論的觀念已無法預測其運動，這使大多數人吃驚。
 
      第二種進展來自對我們周圍見到的最不規則而複雜的現象：山巒和雲團的外形,星系在宇宙中的分佈，離家近點，金融市場價格的起伏等，做數學描述所取得的成果.獲取這種數學描述的一條途徑在於找到“模型”。換言之，需構想或發現一些數學規則 ，使之能對實現的某些部分做“數學上的偽造”——做成山巒或雲團的照片、最深層空 間的天體圖、報紙金融版的圖表等。 
  實際上，伽利略曾宣稱，“自然界偉大的書是用數學語言寫成的”，而且補充說，“其 特徵為三角形、圓形和其他幾何圖形，沒有這些幾何圖形人們只能在黑暗的迷宮中做毫 無結果的遊蕩”。然而不論模擬決定論混沌還是模擬不規則系統，這些歐幾里得外形已 經沒什麼用。這些現象需要的幾何遠遠不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結構—— 特別是需要稱之為分形幾何的新幾何學。

      1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規則的。首先，它們處處無規則可言。其次 ，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規則性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模樣——它是自相似的。整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發現它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。

      自然界提供了許多分形例項。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規則保證了小尺度上的特徵成長後就變成大尺度上的特徵。
 
      用明顯的數學模型加工出的分形工藝品為Sierpinski墊圈。取一黑三角形並把它分割成四個較小的三角形，拿掉中心部分的第四個三角形，便留下一個白三角形。每一 個新三角形也重複上述做法，便能獲得尺度不斷縮小具有同樣形式的結構，邊長總是教 上一步邊長縮小一倍。當客體的部分和整體完全相似，就可以說客體是線性自相似的。 然而，最重要的一些分形和線性自相似還是有區別的。其中有些是描述普通隨機性的分形，另一些是能描述混沌，或非線性系統的分形（在這種系統中對系統行為起作用的因 素，其作用程度與其產生的效果不成比例）。讓我們為上兩種情況舉出例項。
 
      我們的分形由於能偽造海岸線、山巒和雲團而知名。另一個例子是為《星際旅行II》那樣的影片製作的一些場景。
 
      我們的分形模擬著作從少量的人類智慧和大量的博物學知識開始。人類智慧從觀察某些事物入手，像立體派畫家那樣做觀察。“雲團不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進”。所有這些自然結構都具有不規則形狀，它們是自相似的。換言之，我們發現，把整體中的一部分放大便能進一步揭示其深層結構，而它幾乎就是我們一開始處理的那種原始結構的複製品。
 
      博物學知識涉及對自然結構事實的收集與分類。例如，當你測量一個國家的海岸線，測得越精細，海岸線長度長度便會越長，因為你不得不計入沿海岸線長度越來越小的不規則性。劉易斯.賴伊.理查森已經找到描述這種長度增加的定律。
 
     為使分形幾何有意義，我們不得不尋找一種方法，從數量的觀點來表達形狀的複雜性，就象歐幾里得幾何引用角度、長度、面積、曲率，以及用一維、二維、三維這些概念一樣。
 
      對於複雜的幾何形體，普通維數的概念可能隨尺度不同而改變。例如，直徑10釐米的球用1毫米粗的細線做成。從遠處看，球是一點。離10釐米遠，線球是三維的。在1 0毫米處，它是一維線團。在1毫米處，每根線變成了圓柱體，整體又一次變成一維，如此等等，維數“交叉”反覆從一個值到另一個值。當球用有限數目像原子那麼小的微物代表時，它變成零維。 對於分形，和普通維數（0，1，2，3）相對應的維數稱為分形維數。通常，它們的維數值不是整數。
 
      最簡單的分形維變數是相似維Ds只不過給出描述客體所需要的普通維數——分別 為0、1、2、3。對一條曲線線性自相似分形又該怎麼看呢？這樣一條曲線能從很光滑的 一維線，到接近充填成一個面，這意味著線纏繞得太多了，以致看起來它的每一部分都 是面上的某個區域，變成差不多是二維。相應的Ds值就要在大於1而小於2的範圍內。這 樣就能把Ds說成是對這條曲線複雜性的量度。更一般地說，Ds是分形外形複雜性或粗造程度的量度。
 
      另一簡單的分形維是質量維。一維直杆質量的增加與長度成正比，比方說，是2R。半徑為R的二維圓盤質量的增加與圓面積πR^2成正比。球質量的增加與圓球體積4/3π R^3成正比。這樣看來，當維數進一步增加，質量的增加便和R的相應維數的方次成比例。
 
      在分形情況下，質量的增加與R的Dm起普通維數的作用，因為稱之為分形維是很自然的。很幸運，在所有簡單情況下，Ds和Dm（以及分形維的其他定義）嚴格地取同一值。若不是最簡單的情況，它們的值可以不同。
 
      模型建立的下一步是設想最簡單的幾何結構，其特徵與所生成的自然結構特徵相同。事實上，我們已經彙集到，並在不斷充實可用於分形幾何的這種結構工具。為檢驗這種數學工具是否適當，我們把模型的數值特徵和真實事物相比較——例如，比較山巒的分形維數。然而，這還不夠，我們還要用作圖以檢驗這種數學工具是不是好。到最後，我們希望從山巒的分形模擬方法產生一種理論，以描述地球表面的地勢起伏。
 
 
      既然分形可用於描述複雜的自然界外形，那麼分形能描述複雜的動力學系統的行為也就不足為奇了。正如以前在有關混沌系列文章中所表明的，模擬液體湍流、天氣、或昆蟲群體的動力學方程式是非線性的，具有典型的決定論混沌性質。如果對這些方程做迭代——檢驗它們在超長時間演變時的解——我們發現，許多數學性質，特別是在做計算圖示時，顯示了其自身是自相似的。
 
      我在非線性分形領域最知名的貢獻是提出了曼德布羅特(Mandelbrot set)。這種集是由比較簡單的方程式做迭代而形成的。它顯示出異乎尋常的圖形，十分錯綜複雜。有人稱之為非線性分形幾何肖像。
 
      曼德布羅特集並不僅僅產生美麗的影像。如果我們非常仔細地檢驗大量的影像就會發現，無數的實驗觀測結果能夠以數學推測的形式重現。它們當中的許多已經形成頗具光彩的定理和證明。它也鼓勵數學採用新方法，利用計算機螢幕。
 
      數學推測通常是由事先已知的定理得出的。近幾十年，從物理學或製圖學沒輸入什麼東西，這意味著純數學的某些領域，諸如迭論（曼德布羅特集即屬於這種理論），已經失掉動力。在計算機上做出分形影像重新使迭代理論復甦。把相互有關的影像加以對照便能為數學上的新發現提供深層次的資訊。研究曼德布羅特集已經得出許多推測，它們說起來簡單，但卻難以證明。分析研究它們已經產生許多有趣的副結果。
 
      自然，許多相關的分形會產生漂亮的令人趕興趣的圖形。實際上，一些今天被認為是分形的外形早在許多年之前就已發現。這種數學的某些內容發表在1875年到1925年期間法國數學界亨利·龐伽萊、皮埃爾·法圖和加斯頓·朱麗亞等人的著作中。但沒有人意識到它們作為形象描述的工具以及它們與真實世界物理學有關這兩方面的重要意義。
 
      一種描述真實世界隨機分形的叫做凝聚擴散（DLA）隨機生成形式。這裡產生了像樹一樣的令人迷惑的錯綜複雜的形態。DLA能模擬灰燼的形成，水在岩石中的滲漏,固體裂紋的擴充套件和閃電的迸發。
 
     為看到它是如何形成的，取一非常大的國際象棋棋盤，在棋盤中心置一皇后，她是不允許移動的。兵，允許它在棋盤上四個方向中的任何一個方向移動，從棋盤邊緣上的隨便什麼起始點起步，按指示完成隨機的，或醉酒者那樣的走步。每一步的方向是從四個相等機率的方向中選定的。當一個兵到達緊靠原始皇后的一個方格，它自己就變成新的皇后，也就不能進一步移動了。最終，一個樹枝狀的，而不是網狀的皇后群體逐漸形成，被稱為“威頓-桑特DLA族”（“Witten Sander DLA cLUSTER”）。
 
      完全沒有料到，大規模計算機模擬已經證明DLA族是分形；它們差不多是自相似的。它的很少的部分和很大的部分被縮小以後的形式及其相似。但族和隨機形成的線性自相似性還是有區別的，以後我們會提出某些令人感興趣的課題。 DLA族分形生長過程的特點在於，它非常清楚地顯示出平滑變化的引數能產生凹凸不平 的效果。為此讓我們按靜電勢能的理論重新表述原來的結構。設想有一用來構成DLA的大盒子，置於一正電勢場內，靶體，即原始皇后，放在中心，其勢能為零。那麼在盒子的 其他位置上勢能值是多少呢？
 
      科學家們早就知道，當中心物體的外形是平滑曲線，或有少量折角（像三角形或正方形）如何計算各處的勢能。這些經典的分析計算能確定勢能相等的一些曲線。這些等勢曲線都是平滑的，它們介於固定的盒子和中心固定物體邊界之間，能反映出勢能逐漸變化的情況。其次，假設中心固定物體的邊界有像針一樣的凸出部分，那麼針周圍的等勢曲線就會很密集，勢能的下降就要很急劇，引起放電：針起到像避雷針一樣的作用 。當中心物體為DLA族，它的邊界上排滿了針，閃電就要襲擊這些處於暴露地位的針。

 
      這裡終於出現急需要的新鮮事：DLA的機理和針被閃電擊打後閃電的擴充套件或分叉是一樣的。DLA實驗使我們認識到，當允許邊界隨勢能移動時，DLA族便發展成越來越大的DLA結構。這意味著我們能從形成等勢線的具有平滑特性的方程式建立起凹凸不平的分形圖。在這種意義上，分形幾何已同向新的課題和新的研究領域。
 
      分形幾何也在於描述自然界其他複雜的現象。其最富有成果的領域之一是對湍流運動的研究，不僅研究它何以會出現——在相圖上顯示的動力學是分形的——也研究湍流結構的複雜外形。如此說來，水和雲團的射流和尾流原來是分形的。這要歸因於流體運動方程（納維耶-斯托克斯方程）所起的作用。把外形和產生外形的動力學相聯絡是遠沒有解決的問題。繪製這種關係圖將成為了解湍流的重要步驟。
 
      分形能作恰當描述的另外領域是對活著的東西和對宇宙，雖然在所有情況下，在非常小的尺度和非常大的尺度上分形描述會失靈。樹或道路並不能沒有限制地分叉，整個樹木也不會是超級樹的一部分。宇宙中星系的分佈可能相反。數一數星系就能看到小尺度至少延伸1500萬到3000萬光年之遙。有越來越有力的證據證明，存在著尺度超過30000光年的大空白區。這種空白區正是在分形分佈中所預料到的。
 
      分形的重要性如何？像混沌理論一樣，現在很有把握地說些什麼還為時過早，但其前景看好。許多分形已經對文化有重要影響，而且已被看作是新藝術形式的成果。有些分形是對真實的模擬，而另一些卻完全是虛構和抽象。數學家和藝術家出乎意料地看到了這樣一種文化上的相互作用。
 
      在外行看來，分形藝術似乎是魔術。但不會有任何數學家疏於瞭解它的結構和意義。許多作為基礎的方程式被認為是純數學的一部分，對真實世界沒有任何用處，它所代表的真實自然現象還從沒見過。最重要的是，正如已提到的，應用分形最活躍的領域是在物理學，它們已幫助處理了一些非常老的問題，也解決了某些嶄新的困難問題。
 
      分形圖最後的副產品是它對年青人的吸引正重新喚起他們對科學的興趣。曼德布羅特集和其他分形圖現在出現在T血衫和招貼畫上，許多人希望這將使青年人感受到數學的美麗和富於表現，感受到它們和真實世界之間深奧的關係。