波粒二象性。圖源：https://www.4piacademy.com/wave-particle-duality/ 第二個需要理解的重要原理是量子糾纏（quantum entanglement）。以一個粒子系統為例，每個粒子都有自己的波函式。多粒子系統被定義為狀態空間的張量積。這個由 k 個粒子組成的張量積（每個粒子用 n 維列向量表示）被稱為具有 n^k 維。這種狀態空間的表示被稱為狀態集合。 現在，為便於說明，讓我們把 k 個粒子的初始系統提煉為兩個粒子，每個粒子處於兩種狀態的疊加，a 和 b（為了簡單起見，它們可以是圓形或正方形）。如果關於一個粒子狀態的知識不能揭示另一個粒子狀態的資訊，我們就說這兩個粒子是相互獨立的。
獨立粒子。圖源：https://www.quantamagazine.org/entanglement-made-simple-20160428/ 然而，如果知道一個粒子的狀態給了我們關於另一個粒子狀態的即時資訊，則可以說這兩個粒子是糾纏在一起的。不管一對糾纏粒子之間的距離如何，測量一個粒子的狀態會在瞬間揭示另一個粒子的資訊。這意味著，如果你產生了兩個糾纏粒子，把它們帶到太陽系的對立兩端，一個粒子波函式的坍縮將立即導致另一個粒子波函式的坍縮。兩個粒子之間的交流速度比光速還快，愛因斯坦將這種特質總結為「幽靈般的超距作用（spooky action at a distance）。
VQE 演算法原理圖。圖源：https://www.researchgate.net/figure/Schematic-representation-of-the-Variational-Quantum-Eigensolver-algorithm-applied-to-the_fig1_312194694 在過去的幾年裡，量子機器學習領域的各種其他演算法也被陸續提出。用於傳統 k - 均值聚類的最著名的量子演算法最佳化了向量之間的 Lloyd 經典距離計運算元程式（Rebollo-Monedero & Girod, 2009），以將經典的 O（NkM）計算複雜度指數降低到 O（Mklog（N）），其中 k 是聚類的數量，M 是訓練示例的數量，N 是特徵計數（Biamonte&Wittek, 2017, 195-202）。 研究人員還研究了量子計算機在執行神經網路方面的能力。雖然在量子領域中，神經網路的魯棒表達（robust formulation）仍然需要很長的路要走（Schuld&Sinayskiy，2014），但學術界已經提出了使用量子電路來表徵經典神經網路的各種方法。例如，來自 ETH Zurich 和 IBM Q 的研究人員比較了經典神經網路和量子神經網路的維度、可最佳化性和可訓練性（Abbas 等人, 2020）。
量子神經網路（Abbas et al., 2020） Abbas 等人使用模型的維度來對比不同神經網路的效能。他們的結果表明，與經典神經網路相比，結合「良好」特徵圖（用於編碼資料）的量子神經網路具有更高的有效維數。此外，經典神經網路有時會由於高度退化的 Fisher 資訊矩陣放緩訓練速度，而量子神經網路提供了更具描述性的 Fisher 資訊矩陣，具有更均勻的非零本徵值。在 IBM 27 量子位元機器上，這種量子神經網路相比經典神經網路在 Iris 資料集上具有更快的訓練和收斂速度。
量子神經網路訓練結果優於傳統的神經網路（Abbas et al., 2020） 這些結果表明，具有三段（特徵對映、變分和測量）的魯棒量子神經網路呈現出高容量和快速可訓練性等優點。 NP 困難、搜尋和蒙特卡羅模擬 量子計算機也擅長解決最佳化問題。最佳化問題利用一個特定的啟發式解決方案，從一組有效的解決方案中找到最好的解決方案。為了理解量子計算環境下最佳化是如何運作的，研究人員設計了一些 NP 困難（NP-hard）問題的量子演算法。這方面的一個例子是旅行商問題（Traveling-Salesman-Problem, TSP），它為很多城市提供了比經典蠻力方法更高的二次加速（Srinivasan et al., 2018）。 其他利用量子計算機並行性的演算法同樣取得了很好的效果。Grover 演算法是目前搜尋 N 個條目的無序資料庫的最快量子演算法。在經典計算機中，這項任務需要的時間與 N 成比例，但是量子計算機展示出平方根加速並在 O(sqrt(N))內完成任務。同樣地，量子計算機可以在 N 個資料點執行傅立葉變換，對稀疏 N*N 矩陣反演，並找到在時間上與 log (N)中多項式成正比的本徵值和本徵向量。對於這些任務，已知的最佳經典演算法需要的時間與 N log(N)成正比，也就是說，量子計算機在這種情況下也表現出指數級的加速(Biamonte & Wittek, 2017, 195-202)。 金融行業也正在為量子計算機的潛在應用做準備。股票市場以及相關指標的分析可以轉化為最佳化問題。考慮到這一點，量子計算機的直接實際應用可能會在金融領域紮根。 西班牙一家銀行 BBVA 在 2020 年 7 月釋出的一項研究發現，量子計算機可以提高信用評分、現貨套利機會，以及加速蒙特卡羅模擬（經濟學人, 2020 年）。同樣，摩根大通（JPMorgan Chase&Co.）研究部門的負責人 Marco Pistoia 也希望，量子計算機可以透過加速資產定價、挖掘表現更好的投資組合以及改進現有的 ML 演算法等措施提高潛在利潤。就連高盛（Goldman Sachs）量子研究負責人 William Zeng 也大膽宣稱，量子計算機可以革新銀行業和金融業（The Economist, 2020）。 糾纏的未來 量子計算機揭示了一種很有前途的計算和解決問題的新方法。對難解問題的指數加速比和多項式時間求解是量子位元量子力學屬性的自然後果。這就使得計算模型更接近於量子圖靈機的抽象模型。 回到我們最初對圖靈機的討論，量子圖靈機是經典圖靈機的泛化或量子化，其中磁頭和磁帶是疊加的。形式上，機器的狀態是希爾伯特空間中的量子狀態。量子圖靈機的磁帶是一個無限的「單邊磁帶」，它代表了疊加的位元。在這種情況下，量子計算是一種酉變換（unitary transformation），其結果由量子測量決定，它將把相干疊加中的「單邊磁帶」簡化為具有可分離正交本徵態的經典雙邊帶（Moschovakis, 2003）。
