有源匯上下界最大流

對於題目給的圖\(G\)，我們新增一條邊\((t,s)\)轉化成\(G_1\)，對\(G_1\)求無源匯上下界可行流，新增虛擬源匯點\(S,T\)得到的圖是\(G_2\)，對\(G_2\)跑dinic，此時得到的最大流\(f\)滿足\(S\)的每條出邊都是滿的，\(T\)的每條入邊都是滿的，\(f\)誘匯出的\(G_2\)的殘存網路為\(G_3\)，在\(G_3\)中將\(s,t\)分別當做源點和匯點跑dinic，此時跑出來的增廣路一定不包含\((t,s),S,T\)（因為增廣路是簡單路徑，所以不包含\((t,s)\)；因為\(G_3\)中\(S\)只有入邊所以一旦進入\(S\)就出不去了，所以不包含\(S\)；因為\(G_3\)中\(T\)只有出邊所以無法進入\(T\)，所以不包含\(T\)），設這個dinic結束之後，得到一條最大流\(f_1\)，此時\(s,t\)流量不守恆，將\(f\)與\(f_1\)相加，並令\(G_2\)中\((t,s)\)的權值為\(f_1\)，此時不難驗證仍然得到了\(G_2\)的一個最大流，而\(G_2\)的一個最大流就可以轉換為\(G_1\)的一個可行流