一天一章大學物理，請神請到麥克斯韋

\[\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Sou}{\mathcal E} \]

XII.靜電場

XII.I.電荷

電荷的基本單元為 \(e=1.602\times10^{-19}\Co\) 的基元電荷。

電荷守恆定律：沒有淨電荷出入邊界的系統，正負電荷代數和不變。

• 電荷可以產生或消失：光子可以被轉化“產生”一對正負電子，正負電子也可以“湮滅”成為光子。
• 極罕見地，電子可以衰變為中微子，但是因為過於罕見所以在統計學意義下可以認為電荷守恆仍成立。

電量與運動狀態無關，即電荷的 相對論不變性。

XII.II.庫侖定律與疊加原理

靜電學 是研究靜止電荷相互作用的學科。其核心為 Coulomb 定律（真空形式）

\[\b F_{21}=k\dfrac{q_1q_2}{r_{21}^2}\b e_{21} \]

其中 \(\b F_{21}\) 為 \(q_2\) 受 \(q_1\) 的力，\(\b e_{21}\) 為 \(q_1\) 向 \(q_2\) 的單位向量。

\(k=8.990\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2\approx9\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2\)。往往使用 真空介電常量（真空電容率）\(k=\dfrac1{4\pi\vare_0}\) 來定義 \(k\)，此時 Coulomb 公式變為

\[\b F_{21}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r_{21}^2}\b e_{21} \]

\(\vare_0=8.85\times10^{-12}\Co^2/(\Ne\cdot\Me^2)=8.85\times10^{-12}\Fa/\Me\)

空氣中，Coulomb 定律仍可以極小誤差成立。

電力疊加原理：兩點電荷間作用力不因第三電荷存在而改變。

XII.III.電場與電場強度

電場強度（簡稱電場）被下式所定義：

\[\b E=\dfrac{\b F}{q} \]

其中 \(\b F\) 是試探電荷 \(q\) 置於場中某處而受力。

由電力疊加原理可知電場疊加原理。

XII.IV.靜止的點電荷的電場及其疊加

靜止點電荷周圍的電場為

\[\b E=\dfrac{q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r \]

其中 \(\b e_r\) 是自點電荷指向某處的單位向量。

若是帶電體，則要使用積分式，即

\[\b E=\int\d\b E=\int\dfrac{\d q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r \]

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相隔一定距離的等量異號點電荷，若二者間距遠小於其一到待討論場點的距離時，此對點電荷被稱作 電偶極子。

令 \(\b l\) 為 \(-q\) 至 \(+q\) 的向量。令偶極子中心到偶極子中垂線上一點 \(P\) 的距離為 \(r\)，\(-q,+q\) 到 \(P\) 的向量分別為 \(\b r_-,\b r_+\)，則

\[\b E=\dfrac{q(\b r_+-\b r_-)}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3} \\=-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3} \]

當 \(r\gg l\) 時，\(\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}\approx r\)，因此上式

\[\approx-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0r^3} \]

其中，\(q\b l\) 是電偶極子本身性質，因此可以以一個名詞電偶極矩（電矩）稱呼之，即 \(\b p=q\b l\)。那麼公式為：在電偶極子中垂線上較遠處，有

\[\b E=-\dfrac{\b p}{4\pi\vare_0r^3} \]

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電偶極矩有其擴充套件。例如，在系統電中性的場合，可以定義電多極矩

\[\b p=\sum q_i\b r_i \]

參考點任意選擇，\(\b r_i\) 為自參考點指向系統中某一電荷的向量。可以發現，電偶極子的電偶極矩是電多極矩的一個特殊情況。而當非電中性的場合，參考點不能任意選擇，此時有一些約定俗成的選點，例如質子的電矩一般參考點選擇質心。

電多極矩的用處目前還未知。

XII.V.電場線和電通量

穿過一個面元 \(\d S\) 的電通量元 \(\d\Phi_e\)，被定義為 \(E\d S_\perp\)，其中 \(\d S_\perp\) 是垂直電場的投影面元。令 \(\d\b S=\b e_S\d S\)，其中 \(\b e_S\) 為面的法向量（顯然，此時我們考慮有向面元，因此法向量有著確定的某一方向），則 \(\d\Phi_e=\b E\cdot\d\b S\)。穿過整個有向曲面的電通量

\[\Phi_e=\int\d\Phi_e=\int\b E\cdot\d\b S \]

點電荷電場在刨除原點的場合下是保守場；由 Gauss 定律，保守場上不包含原點的閉曲面積分為零，而包含原點的閉曲面——採用球面積分——是

\[\Phi_e=\oint\b E\cdot\d\b S=\oint\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}\d S=\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}4\pi r^2=\dfrac q{\vare_0} \]

這裡可以看到為什麼真空介電常數與 \(k\) 的換算時帶入了 \(4\pi\) 的量：為了達到這一結果。

進而有推論：若干點電荷構成的場中，閉曲面的電通量為

\[\Phi_e=\dfrac1{\vare_0}\sum q_{\text{in}} \]

其中 \(q_{\text{in}}\) 取遍閉曲面內部點電荷。

由 Coulomb 定律可以推出 Gauss 定律；反之亦然。因此，在靜電學中，兩定律等價。實驗表明，Gauss 定律在電荷運動時仍然有效，因此是普適的定律，而 Coulomb 定律不然。

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Gauss 定律可以被用於求電場強。這需要電荷分佈有某種程度的對稱性，進而電場有對稱性。選取合適的封閉積分面（稱作 Gauss 面）使得積分 \(\oint\b E\cdot\d\b S\) 中的 \(\b E\) 能以標量提出，進而由 Gauss 定理可以求出 Gauss 面上處處場強，透過引數調整 Gauss 面（這一點體現對稱性）求出全空間上場強。

• 單點的場合，Gauss 面選取球面，即得 Coulomb 定律。
• 均勻帶電球面的場合，Gauss 面仍選取球面，得到均勻球面在球面外電場分佈就如同點電荷一般，而在球面內處處為零。
• 均勻帶電球殼看作眾多均勻帶電球面的複合。
• 無限長均勻帶電直線的場合，可以選圓筒作為 Gauss 面，此時圓筒的上下底面均無通量。
• 平面同理。
• 兩有間距的平行平面，此時不能直接 Gauss 處理，但是可以用電場疊加原理處理。

XIII.電勢

XIII.I.靜電場的保守性

電場是保守場，保守場即可定義勢能：兩點間的任意線積分總等於二者勢能差。換言之，環路線積分恆為零，是保守性的另一說法，即靜電場環路定理。

XIII.II.電勢差和電勢

電勢需要指定一點的電勢為零，該點被稱作電勢零點。有限區域的電荷，此時電勢零點常選擇無窮遠處；地面常常也被認為是零電勢。

電勢的單位等於電場強度乘以距離（線積分的場合），也等於功除以電量，因此有

\[1\Vo=1\Jo/\Co \]

需要注意的是，例如無限長導線的場合，電荷分佈於無限區域內，此時不能選擇無窮遠處為零點——可以選擇距導向某距離處為零點。

點電荷電勢公式為

\[\varp=\dfrac q{4\pi\vare_0r} \]

帶電體的電勢就關於整體按上式積分即可。

XIII.III.電勢疊加原理

一個電荷系的電場中任一點的電勢，等於每一個帶電體單獨存在時該點電勢之和，這被稱作電勢疊加原理。

等電勢點組成的曲面被稱作等勢面。等勢面與電場線處處正交。

XIII.IV.電勢梯度

電場強度總是沿著電勢變化速率最快的方向。因此有

\[\b E=-\nabla\varp \]

對於一個帶電體，因為電勢是標量，所以可以關於帶電體直接標量積分求得電勢，再求梯度得到電場強度；然而，若要直接求電場強度，則需要向量積分，常常是麻煩的。

XIII.V.電荷在外電場中的靜電勢能

靜電場中的電荷存在靜電勢能（簡稱 電勢能）；沿電場線移動時，電勢能減少量等於電場力做功。電勢能

\[W=q_0\varp \]

即電勢能等於電量乘電勢。

電勢能是電荷與電場相互作用時共有的能量，是一種相互作用能。

電勢能的單位是 Joule。或者，一單位電子在 \(1\Vo\) 電場下具有的能量被稱為一電子伏特，即

\[1\eV=1.60\times10^{-19}\Jo \]

電矩為 \(\b p\) 的電偶極子在均勻外電場 \(\b E\) 中擁有電勢能 \(-\b p\cdot\b E\)。

XIII.VI.電荷系的靜電能

將各電荷從現有位置彼此分散到無限遠時，其間靜電力所做功稱為電荷系在起始狀態下所具有的 靜電能，或相互作用能（簡成 互能）

兩個距離為 \(r\)、電量分別為 \(q_1,q_2\) 的電荷，其所含互能

\[W_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r} \]

代入點電荷電勢公式，可知

\[W_{12}=q_1\varp_1=q_2\varp_2 \]

為對稱，寫成

\[W_{12}=\dfrac12(q_1\varp_1+q_2\varp_2) \]

的式子。

歸納可得，\(n\) 個點電荷組成的電荷系下互能為

\[W=\dfrac12\sum q_i\varp_i \]

其中 \(\varp_i\) 為 \(q_i\) 以外其它電荷共同產生的在 \(q_i\) 處的電勢。

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而如果是單一帶電體而非多點電荷系統，其靜電能即為切割成靜電元並無限分散時的功，此時也稱（靜電）自能。

靜電自能公式為

\[W=\dfrac12\int\varp\d q \]

其中 \(\varp\) 為帶電體在 \(\d q\) 處產生的電勢（因為 \(\d q\) 是無限小電荷元所以不用忽略自身電勢）。

實際場合下，常常需要將一部分電荷摘出體系考慮，此時該電荷以外的其它電荷產生的電場就是外電場，而該電荷所持電勢能其實本質上是該電荷與外電場電荷系共同擁有之互能。

XIII.VII.靜電場的能量

靜電能儲存於電場中。

表面均勻帶電、半徑為 \(R\)、總電荷為 \(Q\) 的橡皮氣球，因為電荷間斥力會膨脹。初態靜電能為

\[W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R} \]

膨脹 \(\d R\) 的半徑後，會發現

\[-\d W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0(R+\d R)} \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R+\left(\dfrac{\d R}R\right)^2-\dots) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R \]

因為均勻帶電球體內部電場強度為零，且球體膨脹不改變球體外部電場分佈，僅僅清零了 \(\d R\) 球殼內的電場，所以可以認為 \(\d R\) 的球殼記憶體儲了 \(\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R\) 的能量。\(\d R\) 球殼內的電場強度為 \(E=\dfrac Q{4\pi\vare_0R^2}\)，因此有

\[\d W=\dfrac{\vare_0E^2}2\d V \]

其中 \(\d V=4\pi R^2\d R\) 是球殼體積。球殼內各處電場強度大小几乎相同，因此可以引入 電場能量密度 的概念。以 \(\ome_e\) 表示電場能量密度，則

\[\ome_e=\dfrac{\d W}{\d V} \]

在上述場合下，有 \(\ome_e=\dfrac{\vare_0E^2}2\)。雖然這僅是一個特例，但因為其僅涉及到 \(E\) 這一電場本身性質，所以可以證明其適用於靜電場的一般情況。帶電系統的總電場能量進而可以寫成

\[W=\int\ome_e\d V=\int\dfrac{\vare_0E^2}2\d V \]

注意該積分在全空間內進行，若是帶電體的場合也不會侷限於帶電體內部。

靜電場能量和互能（自能）的兩個式子計算結果應是相同的，區別在於計算時使用電勢還是電場罷了。

XIV.靜電場中的導體

XIV.I.導體的靜電平衡條件

導體靜電平衡，指其內部及表面均無電荷定向移動。要達到這一點，必須滿足兩個條件：

• 內部電場處處為零。（換言之，導體是等勢體）
• 表面電場線處處與表面正交。（換言之，導體表面是等勢面）

例如，帶電導體 \(A\) 和不帶點導體 \(B\) 二者隔一定距離放置，此時 \(B\) 中的自由電子在 \(A\) 上電荷形成的電場作用下移動，生成等量異號的 感生電荷，這些感生電荷進一步影響電場分佈，反過來影響 \(A\) 上電荷，不斷調整直至穩態。

XIV.II.靜電平衡的導體上的電荷分佈

• 靜電平衡時，內部淨電荷處處為零，電荷僅分佈於表面（證明：對每個體積元應用 Gauss 定理，若內部有電荷則體積元會有電通量進而有電場）。

• 並且，表面的面電荷密度與緊鄰處的電場大小成正比（對錶面的柱體使用 Gauss 定理，則應有

  \[E\Delta S=\dfrac{\sigma\Delta S}{\vare_0} \]

  其中 \(\sigma\) 是面電荷密度；因此有 \(\sigma=\vare_0E\)）

  應用該式可以由面電荷密度反推表面電場強度；但需要注意的是，表面電場強度並非僅由相鄰處的面電荷生成，而是整個帶電體的電荷共同生成，只不過恰好滿足上述定量定律罷了）

• 孤立導體靜電平衡時，表面曲率越大則面電荷密度越大。這是因為，導體表面的電荷同性，它們會互相排斥；高曲率時，斥力的分量很大程度指向表面外，此時與表面平行的分量會很小，進而可以容納更近距離的電荷。因此，例如針尖等曲率極大處容易積攢超量電荷，產生 尖端放電——這是因為，過高的面電荷密度意味著過高的電場強度，此時空氣分子可能電離為等量異號電荷，其中與導體異種電荷與導體電荷中和，同種電荷受電場影響被高速射出，整體來看就像是導體上電荷被噴射而出。

XIV.III.有導體存在時靜電場的分析與計算

導體被突然置入已有電場後，電荷的感生與移動是難以描述的，因此計算基本上只能使用如下條件：導體電荷守恆；靜電平衡時導體表面的等勢性；Gauss 定律，三者列方程並求解。

XIV.IV.靜電遮蔽

靜電平衡時，作包圍空腔的等勢面可知空腔表面必然無淨電荷；若有等量正負電荷分佈於空腔表面上不同位置，則有些區域有正 \(\sigma\) 和正附近場強，有些有負 \(\sigma\) 和負場強；有場強就有電場線，因為空腔內無電荷所以電場線必始於正 \(\sigma\) 終於負 \(\sigma\)，則二者間存在電勢差，破壞了等勢面條件。因此，靜電平衡時空腔內表面上處處無電荷。空腔若有電場線，則其不可能始於空腔壁，更不可能在腔內起訖或成環，故亦處處無電場。則空腔內部及表面必處處無電荷、無電場，這一性質與導體殼外界電場無關：若外界電場改變，則導體殼外表面電荷會重新排布，使得最終內部無電荷。

現在考慮空腔內有電荷的場合。此時取包圍空腔等勢面，可知空腔內表面總電荷為空腔內總電荷的相反數。若此時已知金屬外殼上總電荷，則金屬外殼外表面總電荷即可知。若對外殼外表面接地，則外表面無電荷，使得內部電荷對外界的影響終止於空腔內表面，使得空腔內的電場得以不影響外界。

XIV.V.唯一性定理

給定若干靜止導體，則只要對於每個導體，知曉二者其一：

• 其所攜電量。
• 其表面電勢。
• 這二者都被稱為邊界條件。

則靜電場分佈唯一確定，這被稱為 唯一性定理。

假設所有導體的表面電勢均確定，則若存在兩不同分佈 \(\varp_1\) 與 \(\varp_2\)，考慮求差得到 \(\varp\)，則 \(\varp\) 在所有邊界處均為零勢。由電勢疊加原理，\(\varp\) 顯然是一合法電勢場。若 \(\varp\) 存在非零極大值或極小值（不妨令存在極大值），則所有電場線均由極大值射出，取包裹之 Gauss 面可以發現電通量非零，而極大值顯然不可能出現邊界，但是非邊界處均無電荷，此時違背 Gauss 定理，則 \(\varp\) 必然無極大亦無極小，此時 \(\varp\) 處處為零，\(\varp_1=\varp_2\)。

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使用唯一性定理分析靜電遮蔽問題。

考慮一接地金屬殼。腔外有電荷但腔內無時，易知腔內無電場。同理，腔內有但腔外無時，知腔外無電場。現在，將二者合一，腔內外同有電荷時，電場如何？

顯然，把外有內無和外無內有二者疊合起來，能得到一合理合法的電場分佈。由唯一性定理，此乃唯一可行之電場分佈。這表明：接地金屬殼完全隔絕了內外——雖然金屬殼的存無影響了電場本身（金屬殼存在和金屬殼連同裡面的東西一起消失時，外部電場不同），但是改變內外某側的電場分佈，完全不會影響另一側的電場分佈。反觀不接地金屬殼則不然——其只能存在一脆弱平衡。

唯一性定理引出一方法：映象法。

考慮一無窮大接地水平金屬板，班的上空有一點電荷。考慮區域：金屬板及其上方無窮邊界，這一塊邊界電勢處處為零。現在關於金屬板作一對稱虛電荷帶等量異種電荷，則金屬板與兩電荷垂直平分面恰重合。現撤去金屬板，可知垂直平分面上電荷處處為零，則上方區域邊界條件與金屬板的場合完全相同，由唯一性定理二者具有相同電場分佈，於是點電荷在金屬板上空產生的電場等效於對稱系統的電場。

XV.靜電場中的電介質

XV.I.電介質對電場的影響

兩板間插入一相對介電常量（相對電容率）為 \(\vare_r\) 的電介質，兩板間電壓變為 \(U'=\dfrac U{\vare_r}\)，其中 \(\vare_r\) 是電介質的一個固有性質，為一個大於 \(1\) 的數。這意味著，電介質下的電場強度減弱為 \(E=\dfrac{E_0}{\vare_r}\)。

XV.II.電介質的極化

對於中性分子，其正負電荷電量相等，因此可以認為其是一個微小的電偶極子。極性分子的正負電荷中心不重合，有著非零的電矩，即 固有電矩；非極性分子的電矩為零。但是若施加一外電場，非極性分子的正負中心就會在電場力的作用下出現偏移，產生一微小電矩，稱為 感生電矩，大約是固有電矩的 \(10^{-5}\)。感生電矩的方向總與外加電場方向相同。

電場下的非極性分子總有著整齊的電矩；而極性分子的固有電矩會沿電場方向取向，但因為無規則熱運動無法整齊排列。電場越強，排列越整齊。

電介質內部任取一塊區域，正負電荷數目均大致相等；僅在表面處，一側展現正電荷，一側展現負電荷。這樣的電荷稱作 面束縛電荷（面極化電荷），與自由電荷不同，無法透過傳導的方式引走。表現出束縛電荷的過程被稱作 電介質的極化。

電極化強度 \(\b P\) 衡量介質的極化狀態，使用如下公式計算：

\[\b P=\dfrac{\sum\b p_i}{\Delta V} \]

非極性分子的感生電矩均相同，因此若 \(n\) 表示單位體積分子數目，則非極性介質的電極化強度即為

\[\b P=n\b p \]

各向同性電介質當電場強度不過大時，滿足公式

\[\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E \]

其中 \(\vare_r-1\) 也被記作 \(\chi\)，稱為電介質的 電極化率。

使用非極性介質推理可知，在 \(\d S\) 的面積元上，因電極化越過單位面積的電荷為 \(\b P\cdot\b e_n\)，其中 \(\b e_n\) 是面積元的法向量；而其亦適用於極性介質。若取 \(\d S\) 為面臨真空的表面，則上式給出面束縛電荷大小。

當介質內部電極化強度並非處處相等時，任意框出內部一封閉曲面，其會有相應的 體束縛電荷。有

\[q_{out}=\oint\b P\cdot\d\b S \]

即，總逸出電荷為電極化強度通量；則總體束縛電荷等於負的電極化強度通量。

低外加電場僅僅引起極化（分子電介質顯然是絕緣的），但高外加電場可能將電介質中分子的正負電荷拉開變成導體，稱之為 電介質的擊穿。

XV.III.D 的高斯定理

電介質下的電場，由束縛電荷和自由電荷共同決定；而束縛電荷又反過來受電場而確立，因此問題是複雜的。但是透過引入物理量，可以解決這一問題。

我們有束縛電荷 \(Q\) 和自由電荷 \(q\)。取封閉面 \(S\)，由 Gauss 定理，有

\[\oint\b E\cdot\d\b S=\dfrac1{\vare_0}\left(\sum Q_{in}+q_{in}\right) \]

\(Q_{in}\) 的式子可以使用體束縛電荷的公式代入，移項得

\[\oint(\vare\b E+\b P)\cdot\d\b S=\sum q_{in} \]

引入輔助物理量 電位移 \(\b D=\vare_0\b E+\b P\)，則上式即為

\[\oint\b D\cdot\d\b S=\sum q_{in} \]

即，電位移通量等於自由電荷代數和。真空電介質的場合，該式退化為 Gauss 公式。

代入 \(\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E\)，有 \(\b D=\vare_0\vare_r\b E\)。令 \(\vare=\vare_0\vare_r\) 稱作介電常量（電容率），則 \(\b D=\vare\b E\)（僅在各向同性的場合有效）。這樣，由自由電荷分佈可知 \(\b D\) 分佈，然後可知 \(\b E\) 分佈。

---

由靜電場迴路定理，介質介面兩側，電場強度介面切向分量相等；由 \(D\) 的 Gauss 定理，電位移介面法向分量相等。於是可以推出：令 \(\the_1,\the_2\) 為電位移向量與法線夾角，可知

\[\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\vare_{r1}}{\vare_{r2}} \]

稱之為 \(D\) 線折射定律。

XV.IV.電容器和它的電容

電容器兩金屬板上帶有等量異號電荷 \(\pm Q\)，同時有電壓 \(U\)。電容器所帶電量與電壓成正比，比值 \(\dfrac QU\) 稱作 電容，則

\[C=\dfrac QU \]

單位是 Farad，\(1\Fa=1\Co/\Vo\)。

平行板電容器的電容為 \(\dfrac{\vare_0\vare_rS}d\)。圓柱形、球形等可類似計算。

孤立導體可認為與無限遠處另一導體組成電容。例如，半徑為 \(R\) 的孤立導體球，可以認為其與無窮遠處同心導體球成電容。

---

電容並聯時，電容兩側電壓均相同，因此 \(C=\sum C_i\)；串聯時，電容所帶電量相等，因此 \(\dfrac1C=\sum\dfrac1{C_i}\)。

電容器的性質除了電容，還有耐壓能力。並聯電容的耐壓能力受限於最弱者，而串聯電容的電容小於任一成分電容。

XV.V.電容器的能量

電容器內儲存了能量。考慮放電了 \(-\d q\) 的電量，這些電量在電場力下做功 \(\d W=-u\d q=-\dfrac qC\d q\)。總功

\[W=\int\d W=\dfrac12\dfrac{Q^2}C=\dfrac12CU^2=\dfrac12QU \]

同理可認為，電容器的能量即為其中電場所存有能量。考慮平行板電容器，可以發現 \(W=\dfrac{\vare_0\vare_r}2E^2Sd\)；代入電場能量密度式子可以發現，\(\omega_e=\dfrac12\vare E^2=\dfrac12DE\)——該式由平行板電容推出，但是適用於一切電容。在電介質中，相同電場下儲存的能量變為原本的 \(\vare_r\) 倍，這是因為電介質極化過程儲存了能量。

XVI.恆定電流

XVI.I.電流與電流密度

電流的本質是微觀粒子的定向運動，移動的可以是電子、質子、離子，甚至是帶正電的“空穴”。這樣的電流稱作傳導電流。

透過某一介面的電流是 \(I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}\)。電流是標量。

考慮有一種載流子，電量是 \(q\)，速度是 \(\b v\)；取面積元 \(\d S\)，法線夾角為 \(\the\)；單位體積載流子數目為 \(n\)，則

\[\d I=\dfrac{qnv\cos\theta\d t\d S}{\d t}=qnv\cos\the\d S=qn\b v\cdot\d\b S \]

引入 \(\b J=qn\b v\)，則 \(\d I=\b J\cdot\d\b S\)，此處的 \(\b J\) 被稱作 \(\d S\) 處的電流密度。多種載流子的場合，令 \(\b J_i\) 為第 \(i\) 種載流子的電流密度，則 \(\d I=\sum\b J_i\cdot\d\b S\)。或者，令 \(\b J=\sum\b J_i\)，則仍有 \(\d I=\b J\cdot\d\b S\)。

金屬的場合，只有自由電子一種載流子，但各載流子速度不同。令平均速度為 \(\bar{\b v}\)，則 \(\b J=ne\bar{\b v}\)。平均速度 \(\bar{\b v}\) 稱作漂移速度。

透過某曲面的電流是電流密度通量。根據電荷守恆定律，可知

\[\oint\b J\cdot\d\b S=-\dfrac{\d q_{in}}{\d t} \]

稱之為 電流的連續性方程。

XVI.II.恆定電流與恆定電場

恆定電流是處處電流密度不隨時間變化的電流。恆定電流的場合，所有閉合曲面電流均為零——否則依照電流連續性方程，某區域內的電荷會無限升高或降低，而這是不合法的。推論為，同一根導線中的所有截面，透過電流均相等。

電路中幾根導線可以組成節點，節點的總流入電流等於流出電流，稱作 節點電流方程，或 Kirchhoff 第一方程。

不隨時間變化電流意味著恆定電荷分佈，進一步有著恆等電場。恆定電場有保守型，因此可以定義電勢。在恆定電流電路中，沿任何閉合迴路一週的電勢降落的代數和總等於零，稱作 迴路電壓方程，或 Kirchhoff 第二方程。

恆定電場伴隨著電荷移動和電場力做功，需要能量維持；靜電場則不需要額外能量的維持。