專欄 | 九章演算法
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題目描述
給一個nums[]陣列,如[1, 2, 4]
將這些陣列合使得： 這些數的和是給出的一個target，如使這些數的和等於4
求這樣的組合有多少個？
樣例
[1, 1, 1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 2, 1]
[2, 1, 1]
[2, 2]
[4]
這些組合都可以，他們的和都是4
所以答案是6
演算法分析
1.直觀的想法就是把所有的組合全都找出來，再計算他們的個數就可以了。那麼，怎麼找所有的組合呢？首先你有一個nums陣列，一個target。首先想，能不能把這個問題分解成子問題？可以。以題目描述為例，需要[1,2,4]組合成4，可以分解為3個子問題:
序列的第一個數為1，讓[1,2,4]組合成3
序列的第一個數為2，讓[1,2,4]組合成2
序列的第一個數為4，讓[1,2,4]組合成0
2.上述的想法用DFS就可以實現，設N為nums陣列的長度，M為target，但是複雜度達到了O(N^M)，這個複雜度太高了。 換一個角度來想一想，假設dp[i]為讓[1,2,4]為i的組合的數目，如果我dp[1],dp[2],dp[3]都已經求出來了，如何去求dp[4]呢？dp[4]可以由哪些子問題得到呢？這個思路和上面的過程是一樣的。
序列的第一個數為1,加dp[3]得到
序列的第一個數為2,加dp[2]得到
序列的第一個數為4,加dp[0]得到
3.dp[0] = 1
dp[1] = 第一個數為1，然後加dp[0]得到 = dp[0] = 1
dp[2] = 第一個數為1，然後加dp[1] + 第一個數為2，然後加dp[0] = dp[1] + dp[0] = 2
dp[3] = 第一個數為1，然後加dp[2] + 第一個數為2，然後加dp[1] = dp[2] + dp[1] = 3
dp[4] = 第一個數為1，然後加dp[3] + 第一個數為2，然後加dp[2] + 第一個數為3，然後加dp[1] = dp[3] + dp[2] + dp[1] = 6
4.於是dp方程為dp[i] = dp[i-nums[1]] + dp[i-nums[2]] + ... + dp[i-nums[N]]，初始化dp[0] = 1。複雜度O(NM)。
可以發現，第一種思路和第二種思路其實很相近，他們的區別就是，第二種思路對所有的子過程只計算了一遍，第一種思路可能對一個子過程計算很多遍，例：設dfs(i)可以求出目標為i的結果，dfs(4) = dfs(3) + dfs(2) + dfs(0) = dfs(2) + dfs(1) + dfs(2) + dfs(0) 展開到這一步的時候就可以發現dfs(2)已經被計算了2遍了，而在第二種思路中，每個子過程只會被計算一遍，那麼，可不可以讓第一種想法計運算元過程的時候只計算一遍呢？可以，那就是記憶化搜尋。
5.因為題目沒說資料是否是遞增，可以考慮給陣列排序，排序過後 一旦遇到 i - nums[j] < 0的，就可以直接退出迴圈。
參考程式碼
面試官角度分析
這道題目的是揹包問題當中比較難的面試題目，如果會做01揹包，能夠擴充想到這道題目多重揹包怎麼樣處理n個揹包數目，那麼這道題目就能夠迎刃而解，能夠想出O(n*target)時間複雜度的演算法那麼久可以達到hire
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