Google面試題 | 不包含連續1的非負整數

九章演算法發表於2017-08-17

Go面試題

專欄 | 九章演算法
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題目描述

給定一個正整數n，求出0到n中有幾個數滿足其二進位制表示不包含連續的1。1<=n<=10^9。

樣例

輸入：5
輸出：5
說明：0到5的二進位制表示分別為：
0 ： 0
1 ： 1
2 ： 10
3 ： 11
4 ： 100
5 ： 101
這六個數中，只有3的二進位制表示包含有連續的1，故答案為5。

解題思路分析

暴力方法：列舉0到n，判斷其二進位制是否包含連續的1，時間複雜度為O(n*log(n))，對於題目的n的範圍來說比較大。

考慮一種比較簡單的情況，如果n=2^k - 1，其中k為正整數，那麼問題就變成二進位制數00……0（k個0）到11……1（k個1）中有幾個數不包含連續的1，設答案為f(k)。

我們可以考慮k位二進位制數的第一位：如果第一位是0，那麼第二位既可以取0也可以取1，也就是說對後面的k-1位無影響，所以第一位為0的滿足條件的數總共有f(k-1)個；如果第一位是1，那麼由於不能出現連續的1，第二位只能取0，但是對後面的k-2位無影響，所以第一位為1的滿足條件的數總共有f(k-2)個。

這樣，我們就得到了：f(k) = f(k-1) + f(k-2)。邊界條件為f(1)=2以及f(2)=3，由於f(0)=1滿足原問題的題意也滿足上述的轉移方程，故可以取邊界條件f(0)=1，f(1)=2。

對於n不是2^k-1的一般情況，與上一點的不同之處在於：上一點中只要滿足二進位制位長度不超過k，那麼這個數就不會超過n=2^k - 1，而這種情況需要具體考慮不超過n的數。

假設n的二進位制有k位，最高位為1，其二進位制為1xx……x（x表示0或1），那麼0到n可分為00……0（k個0）到011……1（一個0，k-1個1）和100……0（一個1，k-1個0）到1xx……x（即n）兩個部分。

前一個部分即0到2^(k-1)-1，這部分中滿足條件的答案為f(k-1)；第二部分則需進一步討論：如果n的二進位制從左往右第二位為1，即n的形式為11x……x，那麼因為題目要求不能有連續的1，所以這一位只能取0，這樣的數一定小於n，所以後k-2位不受大小的限制，答案為f(k-2)，並結束計算；如果n的二進位制從左往右第二位為0，即n的形式為10x……x，那麼為滿足不超過n的條件，第二位也只能取0，這樣問題就變為從100……0到10x……x之間有多少滿足條件的數，這樣就可以繼續對n的二進位制的後k-2位進一步進行類似的討論。

舉個例子，n=10，二進位制為1010：

對於最高位的1，我們將0到1010分為0到111和1000到1010兩部分，前一部分的個數為f(3) = 5。

第二部分為1000到1010，最高位確定取1，而n的二進位制從左往右第二位為0，為滿足不超過n的條件，滿足條件的數從左往右第二位只能取0。

n的二進位制從左往右第三位為1，這樣我們又可以按i中的方法，把1000到1010再次分成1000到1001和1010兩個部分，前一部分的個數為f(1) = 2。

到n的最低位，為0，故最後一位只能取0，按照之前的演算法這一步不會增加答案，但由於n=1010b本身還沒有計入，故再加1。

最後得到答案5+2+1=8。

n的二進位制長度為log(n)，故該演算法的時間複雜度為O(log(n))。

參考程式

www.jiuzhang.com/solution/no…