舉例描述

最大流問題是一個很經典的問題，很多人對此也很熟悉，它能夠等同於一個線性規劃問題。下面給出最大流問題的一個基本描述：如下圖所示，s是源點，t為匯點，每條邊上數字的含義是邊能夠允許流過的最大流量。可以將邊看成管道，0/3代表該管道每秒最多能通過3個單位的流量，0代表當前流量。最大流問題即是說，從s點到t點，最大允許流量是多少？

公式描述

的流量等於流出該點的流量。這個可以理解為流量守恆，就如同電流一樣，流入一個電阻的電流必然等於流出的電流。

那麼最大流就可以表示為：

Ford-Fulkerson解法介紹

該方法依賴於三種重要思想：殘留網路，增廣路徑和割

Ford-Fulkerson思想

Ford-Fulkerson是一種迭代的方法。開始時，對所有的u,v屬於V，f(u,v)=0(這裡f(u,v)代表u到v的邊當前流量)，即初始狀態時流的值為0。在每次迭代中，可以通過尋找一個“增廣路徑”來增加流值。增廣路徑可以看做是從源點s到匯點t之間的一條路徑，沿該路徑可以壓入更多的流，從而增加流的值。反覆進行這一過程，直到增廣路徑都被找出為止。

增廣路徑

舉個例子來說明下，如圖所示，每條紅線就代表了一條增廣路徑，當前s到t的流量為3。當然這並不是該網路的最大流，根據尋找增廣路徑的演算法我們其實還可以繼續尋找增廣路徑。

殘留網路

顧名思義，殘留網路是指給定網路和一個流，其對應還可以容納的流組成的網路。具體說來，就是假定一個網路G=（V，E），其源點s，匯點t。設f為G中的一個流，對應頂點u到頂點v的流。在不超過C（u，v）的條件下（C代表邊容量），從u到v之間可以壓入的額外網路流量，就是邊（u，v）的殘餘容量（residual capacity），定義如下：

r（u，v）=c（u，v）-f（u，v）

舉個例子，假設（u，v）當前流量為3/4，那麼就是說c（u，v）=4，f（u，v）=3，那麼r（u，v）=1。

我們知道，在網路流中還有這麼一條規律。從u到v已經有了3個單位流量，那麼從反方向上看，也就是從v到u就有了3個單位的殘留網路，這時r（v，u）=3。可以這樣理解，從u到v有3個單位流量，那麼從v到u就有了將這3個單位流量的壓回去的能力。

我們來具體看一個例子，如下圖所示一個流網路

對應的殘留網路：

求解步驟舉例

1.獲得殘留網路

2.窮舉所有的增廣路徑

如下圖所示：

計算最大流的標號法

這裡介紹計算網路最大流的簡便方法—標號法，此方法是Ford—Fulkerson 於1956年提出來的，它的原理是利用尋找增廣鏈來不斷改善可行流。 設μ是網路中 到 的一條鏈，規定 到 的方向為μ的方向。 μ上與μ的方向一致的弧稱為前向弧，前向弧的集合記為μ＋， μ上與μ的方向相反的弧稱為後向弧，後向弧的集合記為μ-。

上圖 若給一個可行流｛｝，稱網路中 = 的弧為飽和弧，稱 ＜的弧為非飽和弧，稱 =0的弧為零流弧，稱 ＞0的弧為非零流弧。 增廣鏈：設｛｝是可行流， μ是 到 的一條鏈，若μ滿足下列條件，則稱μ為關於 f 的增廣鏈。（注意： f =｛｝） 1°對於任何（ ,）∈μ＋，0≤ ＜ （前向弧為非飽和弧） 2°對於任何（ ,）∈μ-，0 ＜≤ （後向弧為非零流弧）

參考：

http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9275177 http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293665/ 以及： http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000048/yun/ch7_04.htm