什麼是數學？ 數學是屬於客觀發現還是主觀創造？數學竟然類似小說？ - smithsonianmag

數學是客觀的
一些學者非常強烈地認為數學真理在“那裡”，等待被發現，這被稱為柏拉圖主義。它的名字來自古希臘思想家柏拉圖（Plato），他曾想像過數學真理存在於一個自己的世界中，而不是一個物理世界，而是一個不變的完美非物理領域。存在於時空之外的境界。英國著名的數學物理學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）是一位堅定的柏拉圖主義者。他在《皇帝的新思想》中寫道，“這些數學概念似乎存在一些深刻的現實，遠遠超出了任何特定數學家的思維範圍。相反，好像人類的思想被引導去尋求某種外部真理-一個具有自身真實性的真理……”
許多數學家似乎都支援這種觀點。他們幾個世紀以來發現的東西-沒有最高質數；二的平方根是一個無理數；pi以十進位制表示時，它將永遠持續下去-似乎是永恆的真理，與發現它們的人無關。
如果我們有一天會遇到來自另一個星系的聰明的外星人，他們不會分享我們的語言或文化，但是柏拉圖主義者會爭論，他們很可能已經做出了同樣的數學發現。
多倫多大學最近退休的科學哲學家詹姆斯·羅伯特·布朗（James Robert Brown）說：“我認為，唯一能理解數學的方法就是相信存在客觀的數學事實，並且它們是被數學家發現的。” “工作的數學家絕大多數是柏拉圖主義者。他們並不總是稱自己為柏拉圖主義者，但如果您向他們提出相關問題，那總是他們給您的柏拉圖主義答案。”
 

數學是主觀的
其他學者，尤其是從事其他科學工作的學者，則對柏拉圖主義持懷疑態度。科學家往往是經驗主義者 ; 他們想象宇宙是由我們可以觸控和品嚐的東西組成的；等等。透過觀察和實驗可以學到的東西。存在於“時空之外”的想法使經驗主義者感到緊張：這聽起來令人尷尬，就像宗教信徒談論上帝的方式一樣，上帝早在很久以前就被排斥在受人尊敬的科學論述之外。
正如數學家布萊恩·戴維斯（Brian Davies）所言，柏拉圖主義“在神秘宗教中比在現代科學中更為普遍。” 擔心的是，如果數學家給柏拉圖一英寸，他會走一英里。如果僅透過思考就能確定數學陳述的真實性，那為什麼道德問題甚至宗教問題不是這樣的呢？為什麼要麻煩經驗主義呢？
紐約城市大學的哲學家馬西莫·皮格里奇（Massimo Pigliucci）最初被柏拉圖主義所吸引，但此後開始將其視為難題。他問，如果某物沒有物理存在，那麼它可能會具有什麼樣的存在？皮格魯奇（Pigliucci）寫道： “如果一個人對數學有“柏拉圖式的” ，那麼經驗主義就會“走出窗外。” （如果畢達哥拉斯定理的證明存在於時空之外，為什麼不是“黃金法則”，甚至不是耶穌基督的神性呢？​​）
柏拉圖主義者必須面對進一步的挑戰：如果數學物件存在於時空之外，那麼我們如何知道它們呢？
想想伽利略（Galileo）的著名思想實驗：確定重物是否比輕物墜落得更快。 伽利略能夠推斷出重物和輕物必須以相同的速度掉落。訣竅是想象將兩個物體拴在一起：較重的一個拖輪在較輕的一個拖輪上，以使較輕的一個較快掉落嗎？還是較輕的那個充當“剎車”來減慢較重的那個？伽利略（Galileo）認為，唯一有意義的解決方案是無論物體的重量如何，物體下落的速度相同。以類似的方式，數學家可以證明三角形的角度加起來為180度，或者沒有最大的質數 ，所有這些他們不需要實際物理世界的三角形或卵石來進行計數，只需一個敏捷的大腦。
同時，布朗指出，我們不應對抽象概念感到震驚，因為我們習慣於在其他查詢領域中使用它們。布朗說：“我非常確信存在抽象實體，而它們並不是物理的。” “而且我認為您需要抽象的實體才能理解很多東西，不僅是數學，而且還有語言學和倫理學—可能是各種各樣的東西。”
 

數學是基於公理的邏輯規則
柏拉圖主義有多種選擇。一種流行的觀點是，數學僅僅是一組規則，是由一組初始假設建立的，數學家稱之為公理。一旦建立了公理，就可以進行大量的邏輯推論，儘管其中許多可能很難找到。按照這種觀點，數學似乎更像是發明而不是發現。至少，這似乎是以人類為中心的。這種觀點的極端形式會將數學簡化為象棋遊戲：我們寫下象棋規則，從這些規則中可以遵循各種策略和後果，但是我們並不希望那些仙女座人覺得象棋特別有意義。
但是這種觀點有其自身的問題。如果數學只是我們腦海中思考的東西，那為什麼它應該與我們在自然界中觀察到的東西“很好地”匹配？為什麼核物理學中的連鎖反應或生物學中的人口增長要遵循指數曲線？為何行星的軌道形狀像橢圓形？為什麼斐波那契數列出現在向日葵，蝸牛，颶風和旋渦星系中的模式中？
簡而言之，為什麼數學被證明對描述物理世界如此有用呢？理論物理學家尤金·威格納（Eugene Wigner）在1960年發表的著名文章《自然科學中數學的不合理有效性》中強調了這一問題。。” 維格納總結說，數學在解決物理問題中的用處“是我們既不理解也不應該得到的奇妙禮物”。
但是，許多現代思想家認為，他們可以解決維格納的困境。他們認為，儘管數學可以被看作是源於一小部分公理的一系列推論，但這些公理並非一時興起。相反，之所以選擇它們，是因為它們似乎確實與物理世界有關。正如Pigliucci所說：“我能（向維格納的問題）提供的最佳答案是，這種“不合理的效果”實際上是非常合理的，因為數學實際上是從一開始就被束縛在現實世界中的。
 

數學類似小說
英國約克大學（University of York）的哲學家瑪麗·冷（Mary Leng）持相關觀點。她將自己描述為“虛構主義者” ：她將數學物件視為有用的小說，類似於故事或小說中的人物。“從某種意義上說，它們是我們創造的產物，就像福爾摩斯一樣。”
但是，數學家的工作與小說家的工作之間存在一個關鍵的區別：數學起源於幾何和測量等概念，這些概念與物理世界密切相關。沒錯，當今的數學家發現的某些事物在極端意義上是深奧的，但最終，數學和科學是緊密聯絡的追求，Leng說。“因為[數學]是作為幫助科學的工具而發明的，所以實際上在科學中有用就不足為奇了。”
 
鑑於有關數學性質的這些問題在大約2,300年來經常引起激烈的爭論，因此它們不太可能很快消失。那麼，這位少年在Tikok影片中提出的問題根本不是愚蠢的，而是精明的：幾千年來，數學家和哲學家一直在問同樣的問題。