型別系統和邏輯

banq發表於2015-01-04
型別
電腦科學領域中一個重要成就是：型別理論type theory對應於一個特別的邏輯系統。Type systems and logic一文以Haskell語言為例詳細介紹了其中細節：

那麼這種對應到底是怎樣的？其基本思想來自於Curry-Howard Correspondence. 一個型別被解釋為一個命題proposition, 而一個值被解釋為一個命題的證明proof， 大部分標準邏輯連線詞都來自於這個思想。

舉例來說：(A, B)的一對型別的值是型別A和B值的一對， 這意思是：它們是A和B的證明的一對，那就意味著(A, B)代表了邏輯連線詞“A && B”.

同樣類似，邏輯分離詞disjunction (“A | | B”)代表一個所謂“標籤聯合tagged union”型別: A B兩者中任何一個的值(證明) 是A的值(證明)或者是B的值(證明)。

類似 Int 和 String型別都是命題 – 你能認為像這些簡單型別只是代表某種陳述：也就是“一個 Int存在” 或 “一個String存在”. 1是Int的證明, 而 "hands"是 String的證明. (Int, String) 是一個簡單型別組, 陳述的是 “有存在一個Int和有存在一個String”，(1, "hands")是 (Int, String)的證明。

如果你不熟悉Haskell，Either型別會更加神秘一些, 型別Either a b 代表包含一個型別值出現在Either的左邊，而型別b的值出現在Either的右邊. 所以，Either Int String 意味著“可能存在一個Int或存在一個String”, 它被可能左邊的1 或右邊的"hands"證明了. 這種左右標籤確保你在出現兩個同樣型別時，不會丟失任何資訊。

如果兩個型別相同，如：Either Int Int能被左邊的1 或者右邊的1證明, 這可以從它們彼此標籤位置來進行區分。

當你思考蘊涵邏輯implication時會更加有趣. 函式的型別是轉換型別A的值 (證明) 到型別B的值 (證明) ，也就是A -> B. 這意味著一個函式是也一個證明，這個證明代表：無論什麼時候有一個A的證明，你都能得到B的證明，“如果A是真，那麼B是真”(“if A is true, then B is true.”) ，這樣函式是一種代表關係的蘊涵邏輯的證明。

有一件事比較奇怪，代表“not A”的命題是使用型別 A -> ⊥, 這裡字元“ ⊥ ”被稱為一個空型別，所謂空型別也就是沒有值的型別，(型別的符號來自於數學，它通常代表明確的 “bottom.”含義)， A -> Void可以被讀作：“如果我們有一個A, 我們能用它做些不存在的事情” –相對“我們並沒有一個A”，這有一個很大的延伸，這好像是一種否定句，但是有一個問題: 在經典邏輯中，否定是可逆的reversible. 你能說“not (not A),” 經典邏輯認為那等同於說“A.”

看來經典邏輯是正確的 – 如果A不是假, 它一定是真, 對嗎? 但是如果我們使用 A -> Void 作為否定的定義, 我們通常的直覺和經典邏輯規則就Hold不住了，一個型別(A -> Void) -> Void的值並不會讓你得到一個 型別A的值，雙否定不等同於正肯定了，這意味著什麼？

這裡其實代表了正規化切換，.型別系統並不對應經典邏輯, 而是對應一種稱為“constructive logic(構造邏輯)”. 這個正規化切換是這樣：我們從思考一個事物是否是真， 切換到我們是否能夠證明它們，更重要的是，我們不再考慮是否存在等量化詞(existential quantifications )，除非它被一個案例證明。

我們不能透過矛盾contradiction來證明， (比如：“至少肯定存在一個藍色的事物，因為如果沒有，那麼我們就有矛盾了”). 相反，如果我們展示某個事物一些屬性的存在，我們就能夠發現這個事物，(“至少肯定存在一個事物，這個細節已經表明”). 只要我們記住我們的邏輯模型是可證明的，而不是單純的真理(banq注：單純的真理代表灌輸：我就是比你強，我說的話就是真理，沒有我就沒有你們，這些都是單純的真理，你只要記住就可以，無需知道如何證明它們，它們是怎麼得出的)。

讓我們重新考慮“not (not A)”這個案例，在構造邏輯constructive logic中 , 一個 A -> Void的證明, 或者 “not A,”的證明，是一個機制，其將獲取一個 A，不能做任何事，返回了命題"false"的證明，如果你有一個實際的假false的證明 (比如如果你既有一個 A 和一個 A -> Void 同時滿足), 那就很壞: 在大多數邏輯中，你能用這個不可能逐個證明其他任何事，所有陳述都是等同，它們都是true且false。如果你將邏輯自身作為一個小宇宙，那麼在那裡邏輯規則就是物理規律，那麼你可以說一個假false的證明會摧毀這個小宇宙，將黑洞會吸入整個宇宙到一個單點。

那麼，回到not A. 大部分我們感興趣的邏輯是“一致性consistent”, 其基本意思是那是不可能摧毀整個宇宙的。那麼， A -> Void 意味著 “如果你給我一個 A, 我會摧毀整個世界” – 也就是說，如果我們用一致性邏輯，我們證明了 A -> Void, 我們知道就不可能證明A. 這樣 A -> Void 似乎只能是我們預期的not A 的意思.

最後，回到雙否定，如果 not A 是 a -> Void, 那麼not (not A)就是 (A -> Void) -> Void, 或者 “如果你給我一個機器，獲得輸入A，並摧毀整個世界，那麼我也將摧毀整個世界.” 但是這其實不會給你一個A，如果你關心一些不可觸及的真理概念，你會肯定將這個概念應用到A，但是以我們構成主義的邏輯來說，我們現在不感興趣真相，我們只感興趣為什麼(As)。

雙否定的離奇怪異來自於排中律(the Law of the Excluded Middle) – 對於任何命題“A”, 或者 “A”是真或者“not A”是真 – 但這並不符合構造邏輯(constructive logic).

當你談論抽象的真理時，很顯然，任何命題要麼是真要麼是假，但是涉及證明時 – 你能建立嗎？你能建立一個沒有任何資訊的盒子，當你輸入一個型別A的值時，它要麼是型別A的值，要麼是一個摧毀世界的機制？至少我不能，許多經典邏輯規則在你只思考“真理”這個抽象概念時是很明顯正確的，但是當我們從“可證明”角度考慮時很顯然沒有意義了。

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