零 標題：演算法（leetcode，附思維導圖 + 全部解法）300題之（2312）賣木頭塊
一 題目描述
二 解法總覽（思維導圖）
三 全部解法
面試官：看你準備得差不多了，我們開始面試吧。
狂徒張三：okk~
面試官：題目看得差不多了的話，來說說你的想法、思路哈~
狂徒張三：因為題目中，含有 “最” 字眼，所以我覺得應該優先考慮使用 “動態規劃” 。
面試官： 那你覺得使用動態規劃的條件有哪些呢？
狂徒張三：我個人認為，應該需要具備2個條件：
**1）最優子結構
2）無後效性
**
面試官： 很好，那你知道動態規劃的本質和解題步驟分別是什麼嗎？
狂徒張三：
**1）本質：一種以空間換時間的技術
2）解題步驟：分3步。狀態定義： 每個狀態的決策，存放每個狀態的變數；狀態轉移方程： 當前狀態與之前狀態之間的轉換關係；初始狀態： 初始的狀態或者邊界條件等。**
面試官：小夥子，可以呀。我看你也差不多熱完身了，那你就用如上知識解下這道題吧~
旁白：過了5-10分鐘，張三遲遲寫不出程式碼。
面試官：（一臉凝重、困惑）難道你只背了相關概念，沒進行過相關題目的編碼嗎？
狂徒張三：（張三面漏怯色）額。。。。
面試官：這樣，你把木塊想象成大西瓜，寫起程式碼來也會嘎嘎的清涼和爽快哦~
那題目就變成了 —— 你有1個二維（長度為w、寬度為h）的大西瓜，你可以選擇直接把它賣掉（若此時得有人正好買長度為w、寬度為h），不然的話此時的大西瓜只能獲得0元
狂徒張三：對的，然後我們也可以選擇不賣此時的大西瓜，進行橫向、縱向的切瓜，把大西瓜不斷切成不同的小西瓜，最後從這些切瓜方案中計算出當前大西瓜的能賣處的最大價錢。
面試官：是的，那你這邊根據之前所說，寫下 狀態定義 和 狀態轉移方程吧~
狂徒張三：好的。
我理解的狀態定義 —— dpi，長度為i、寬度為j時，能得到的最多錢數。
狀態轉移方程 —— 橫向切瓜時：dpi = max(dpi, dpk + dpi - k)，k的範圍為 [1, i - 1]。
縱向切瓜時：dpi = max(dpi, dpi + dpi)，k的範圍為 [1, j - 1]。
面試官：那狀態的初始化呢？
狂徒張三：根據陣列 prices ，進行初始化 —— 當 i、j 存在於 prices 裡的0、1下標位置上時，dpi = prices對應的元素下標。
面試官：很好，既然思路已經理清了，那就開始你的表演，啊不、開始你的程式碼編寫吧~
旁邊：張三瞬間如同任督二脈被打通，三下五除二，不到10分鐘便把程式碼敲打了出來~
1 方案1
1)程式碼：
// 方案1 “動態規劃法 - 普通版”。
// “技巧：題幹中含有 最 字眼，優先考慮動態規劃（本質：以空間換時間的技術）。”
// 參考：
// 1）https://leetcode.cn/problems/selling-pieces-of-wood/solution/mai-mu-tou-kuai-by-leetcode-solution-gflg/
// 2）https://leetcode.cn/problems/selling-pieces-of-wood/solution/by-endlesscheng-mrmd/
// 想法（這裡把木塊想象成大西瓜，寫起程式碼來也會嘎嘎的清涼和爽快哦~）：
// 1）狀態定義：dp[i][j]，長度為i、寬度為j時，能得到的最多錢數。
// 2）狀態轉移：
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i - 1]。
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j - 1]。
// 思路：
// 1.1）狀態初始化：l = prices.length;
// dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 思考：二維的每個元素為啥都先 預設填充0 ？
// 1.2）狀態初始化：遍歷 陣列 prices ，進一步初始化 陣列 dp 。
// 2）核心：狀態轉移。
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i - 1]。
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j - 1]。
// 3）返回結果 dp[m][n] 。
var sellingWood = function(m, n, prices) {
// 1.1）狀態初始化：l = prices.length;
// dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 思考：二維的每個元素為啥都先 預設填充0 ？
const l = prices.length;
let dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 1.2）狀態初始化：遍歷 陣列 prices ，進一步初始化 陣列 dp 。
for (let i = 0; i < l; i++) {
const [width, height, price] = prices[i];
dp[width][height] = price;
}
// 2）核心：狀態轉移。
for (let i = 1; i <= m; i++) {
for (let j = 1; j <= n; j++) {
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i - 1]。
for (let k = 1; k < i; k++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j]);
}
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j - 1]。
for (let k = 1; k < j; k++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k]);
}
}
}
// 3）返回結果 dp[m][n] 。
return dp[m][n];
};2 方案2
面試官：Good。程式碼結構很有層次感，註釋也放在了很合適的位置~
狂徒張三：畢竟這個“二維的大西瓜”是保熟的，我敢保證這裡的演算法一定是最優的，能夠保證我們的大西瓜賣出最高的價錢。
面試官：你確定你這個“大西瓜切割演算法”保熟嗎？我看不一定吧？
狂徒張三：我是1個正經的演算法人，還能給你寫法“生瓜演算法”不成？
面試官：我問你，這“大西瓜切割演算法”保熟嗎？
狂徒張三：你就說我這次面試能不能過吧~
面試官：
狂徒張三：那我在看看、想想優化點吧
旁白：只見張三在紙上齊颼颼的寫起了程式碼執行過程。
...
dp5 = max(dp5, dp1 + dp4, dp2 + dp3, dp3 + dp2, dp2 + dp1)
...
狂徒張三：看起來確實有優化點 —— 存在大量的冗餘計算，我們下標k只需列舉到一半的位置即可 —— 即 k的範圍為 [1, i / 2（向下取整）] 。
1)程式碼：
// 方案2 “動態規劃法 - 優化版”。
// “技巧：題幹中含有 最 字眼，優先考慮動態規劃（本質：以空間換時間的技術）。”
// 參考：
// 1）https://leetcode.cn/problems/selling-pieces-of-wood/solution/mai-mu-tou-kuai-by-leetcode-solution-gflg/
// 2）https://leetcode.cn/problems/selling-pieces-of-wood/solution/by-endlesscheng-mrmd/
// 想法（這裡把木塊想象成大西瓜，寫起程式碼來也會嘎嘎的清涼和爽快哦~）：
// 1）狀態定義：dp[i][j]，長度為i、寬度為j時，能得到的最多錢數。
// 2）狀態轉移：
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i - 1]。
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j - 1]。
// 思路：
// 1.1）狀態初始化：l = prices.length;
// dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 思考：二維的每個元素為啥都先 預設填充0 ？
// 1.2）狀態初始化：遍歷 陣列 prices ，進一步初始化 陣列 dp 。
// 2）核心：狀態轉移（有優化，存在對稱性，k列舉到i、j的1半的位置即可）。
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i / 2（向下取整）]。
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j / 2（向下取整）]。
// 3）返回結果 dp[m][n] 。
var sellingWood = function(m, n, prices) {
// 1.1）狀態初始化：l = prices.length;
// dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 思考：二維的每個元素為啥都先 預設填充0 ？
const l = prices.length;
let dp = new Array(m + 1).fill(1).map(v => new Array(n + 1).fill(0));
// 1.2）狀態初始化：遍歷 陣列 prices ，進一步初始化 陣列 dp 。
for (let i = 0; i < l; i++) {
const [width, height, price] = prices[i];
dp[width][height] = price;
}
// 2）核心：狀態轉移。
for (let i = 1; i <= m; i++) {
for (let j = 1; j <= n; j++) {
// 2.1）橫向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j])，k的範圍為 [1, i / 2（向下取整）]。
for (let k = 1; k <= Math.floor(i / 2); k++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[k][j] + dp[i - k][j]);
}
// 2.2）縱向切：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k])，k的範圍為 [1, j / 2（向下取整）]。
for (let k = 1; k <= Math.floor(j / 2); k++) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[i][j - k]);
}
}
}
// 3）返回結果 dp[m][n] 。
return dp[m][n];
};旁白：張三寫完了如上程式碼，急忙問面試官。
狂徒張三：通過面試了吧？
面試官：
狂徒張三：
又1個offer，然後馬上就要出任 CEO 了，我晚上應該是去吃 沙縣小吃 呢？ 還是 蘭州拉麵 呢？哎，選擇太多也是一種煩惱！
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