程式設計面試過程中常見的10大演算法

以下是在程式設計面試中排名前10的演算法相關的概念，我會通過一些簡單的例子來闡述這些概念。由於完全掌握這些概念需要更多的努力，因此這份列表只是作為一個介紹。本文將從Java的角度看問題，包含下面的這些概念：

1. 字串

如果IDE沒有程式碼自動補全功能，所以你應該記住下面的這些方法。

toCharArray() // 獲得字串對應的char陣列
Arrays.sort()  // 陣列排序
Arrays.toString(char[] a) // 陣列轉成字串
charAt(int x) // 獲得某個索引處的字元
length() // 字串長度
length // 陣列大小

2. 連結串列

在Java中，連結串列的實現非常簡單，每個節點Node都有一個值val和指向下個節點的連結next。

class Node {
    int val;
    Node next;

    Node(int x) {
        val = x;
        next = null;
    }
}

連結串列兩個著名的應用是棧Stack和佇列Queue。

棧：

class Stack{
    Node top; 

    public Node peek(){
        if(top != null){
            return top;
        }

        return null;
    }

    public Node pop(){
        if(top == null){
            return null;
        }else{
            Node temp = new Node(top.val);
            top = top.next;
            return temp;	
        }
    }

    public void push(Node n){
        if(n != null){
            n.next = top;
            top = n;
        }
    }
}

佇列：

class Queue{
    Node first, last;

    public void enqueue(Node n){
        if(first == null){
            first = n;
            last = first;
        }else{
            last.next = n;
            last = n;
        }
    }

    public Node dequeue(){
        if(first == null){
            return null;
        }else{
            Node temp = new Node(first.val);
            first = first.next;
            return temp;
        }	
    }
}

3. 樹

這裡的樹通常是指二叉樹，每個節點都包含一個左孩子節點和右孩子節點，像下面這樣：

class TreeNode{
    int value;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

下面是與樹相關的一些概念：

1. 平衡 vs. 非平衡：平衡二叉樹中，每個節點的左右子樹的深度相差至多為1（1或0）。
2. 滿二叉樹（Full Binary Tree）：除葉子節點以為的每個節點都有兩個孩子。
3. 完美二叉樹（Perfect Binary Tree）：是具有下列性質的滿二叉樹：所有的葉子節點都有相同的深度或處在同一層次，且每個父節點都必須有兩個孩子。
4. 完全二叉樹（Complete Binary Tree）：二叉樹中，可能除了最後一個，每一層都被完全填滿，且所有節點都必須儘可能想左靠。

譯者注：完美二叉樹也隱約稱為完全二叉樹。完美二叉樹的一個例子是一個人在給定深度的祖先圖，因為每個人都一定有兩個生父母。完全二叉樹可以看成是可以有若干額外向左靠的葉子節點的完美二叉樹。疑問：完美二叉樹和滿二叉樹的區別？（參考：http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/perfectBinaryTree.html）

4. 圖

圖相關的問題主要集中在深度優先搜尋（depth first search）和廣度優先搜尋（breath first search）。

下面是一個簡單的圖廣度優先搜尋的實現。

1) 定義GraphNode

class GraphNode{ 
    int val;
    GraphNode next;
    GraphNode[] neighbors;
    boolean visited;

    GraphNode(int x) {
        val = x;
    }

    GraphNode(int x, GraphNode[] n){
        val = x;
        neighbors = n;
    }

    public String toString(){
        return "value: "+ this.val; 
    }
}

2) 定義一個佇列Queue

class Queue{
    GraphNode first, last;

    public void enqueue(GraphNode n){
        if(first == null){
            first = n;
            last = first;
        }else{
            last.next = n;
            last = n;
        }
    }

    public GraphNode dequeue(){
        if(first == null){
            return null;
        }else{
            GraphNode temp = new GraphNode(first.val, first.neighbors);
            first = first.next;
            return temp;
        }	
    }
}

3) 用佇列Queue實現廣度優先搜尋

public class GraphTest {

    public static void main(String[] args) {
        GraphNode n1 = new GraphNode(1); 
        GraphNode n2 = new GraphNode(2); 
        GraphNode n3 = new GraphNode(3); 
        GraphNode n4 = new GraphNode(4); 
        GraphNode n5 = new GraphNode(5); 

        n1.neighbors = new GraphNode[]{n2,n3,n5};
        n2.neighbors = new GraphNode[]{n1,n4};
        n3.neighbors = new GraphNode[]{n1,n4,n5};
        n4.neighbors = new GraphNode[]{n2,n3,n5};
        n5.neighbors = new GraphNode[]{n1,n3,n4};

        breathFirstSearch(n1, 5);
    }

    public static void breathFirstSearch(GraphNode root, int x){
        if(root.val == x)
            System.out.println("find in root");

        Queue queue = new Queue();
        root.visited = true;
        queue.enqueue(root);

        while(queue.first != null){
            GraphNode c = (GraphNode) queue.dequeue();
            for(GraphNode n: c.neighbors){

                if(!n.visited){
                    System.out.print(n + " ");
                    n.visited = true;
                    if(n.val == x)
                        System.out.println("Find "+n);
                    queue.enqueue(n);
                }
            }
        }
    }
}

下面是不同排序演算法的時間複雜度，你可以去wiki看一下這些演算法的基本思想。

Algorithm	Average Time	Worst Time	Space
氣泡排序	n^2	n^2	1
選擇排序	n^2	n^2	1
Counting Sort	n+k	n+k	n+k
Insertion sort	n^2	n^2
Quick sort	n log(n)	n^2
Merge sort	n log(n)	n log(n)	depends

另外，這裡有一些實現/演示：: Counting sort、Mergesort、 Quicksort、 InsertionSort。

• 《視覺直觀感受 7 種常用的排序演算法》
• 《視訊: 6分鐘演示15種排序演算法》

6. 遞迴 vs. 迭代

對程式設計師來說，遞回應該是一個與生俱來的思想（a built-in thought），可以通過一個簡單的例子來說明。

問題： 有n步臺階，一次只能上1步或2步，共有多少種走法。

步驟1:找到走完前n步臺階和前n-1步臺階之間的關係。

為了走完n步臺階，只有兩種方法：從n-1步臺階爬1步走到或從n-2步臺階處爬2步走到。如果f(n)是爬到第n步臺階的方法數，那麼f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

步驟2: 確保開始條件是正確的。

f(0) = 0;
f(1) = 1;

public static int f(int n){
    if(n <= 2) return n;
    int x = f(n-1) + f(n-2);
    return x;
}

遞迴方法的時間複雜度是n的指數級，因為有很多冗餘的計算，如下：

f(5)
f(4) + f(3)
f(3) + f(2) + f(2) + f(1)
f(2) + f(1) + f(1) + f(0) + f(1) + f(0) + f(1)
f(1) + f(0) + f(1) + f(1) + f(0) + f(1) + f(0) + f(1)

直接的想法是將遞迴轉換為迭代：

public static int f(int n) {

    if (n <= 2){
        return n;
    }

    int first = 1, second = 2;
    int third = 0;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }

    return third;
}

對這個例子而言，迭代花費的時間更少，你可能也想看看Recursion vs Iteration。

7. 動態規劃

動態規劃是解決下面這些性質類問題的技術：

1. 一個問題可以通過更小子問題的解決方法來解決（譯者注：即問題的最優解包含了其子問題的最優解，也就是最優子結構性質）。
2. 有些子問題的解可能需要計算多次（譯者注：也就是子問題重疊性質）。
3. 子問題的解儲存在一張表格裡，這樣每個子問題只用計算一次。
4. 需要額外的空間以節省時間。

爬臺階問題完全符合上面的四條性質，因此可以用動態規劃法來解決。

public static int[] A = new int[100];

public static int f3(int n) {
    if (n <= 2)
        A[n]= n;

    if(A[n] > 0)
        return A[n];
    else
        A[n] = f3(n-1) + f3(n-2);//store results so only calculate once!
    return A[n];
}

8. 位操作

位操作符：

OR (|)	AND (&)	XOR (^)	Left Shift (<<)	Right Shift (>>)	Not (~)
1|0=1	1&0=0	1^0=1	0010<<2=1000	1100>>2=0011	~1=0

獲得給定數字n的第i位：(i從0計數並從右邊開始)

public static boolean getBit(int num, int i){
    int result = num & (1<<i);

    if(result == 0){
        return false;
    }else{
        return true;
    }

例如，獲得數字10的第2位：

i=1, n=10
1<<1= 10
1010&10=10
10 is not 0, so return true;

9. 概率問題

解決概率相關的問題通常需要很好的規劃瞭解問題（formatting the problem），這裡剛好有一個這類問題的簡單例子：

一個房間裡有50個人，那麼至少有兩個人生日相同的概率是多少？（忽略閏年的事實，也就是一年365天）

計算某些事情的概率很多時候都可以轉換成先計算其相對面。在這個例子裡，我們可以計算所有人生日都互不相同的概率，也就是：365/365 * 364/365 * 363/365 * … * (365-49)/365，這樣至少兩個人生日相同的概率就是1 – 這個值。

public static double caculateProbability(int n){
    double x = 1; 

    for(int i=0; i<n; i++){
        x *=  (365.0-i)/365.0;
    }

    double pro = Math.round((1-x) * 100);
    return pro/100;

calculateProbability(50) = 0.97

10. 排列組合

組合和排列的區別在於次序是否關鍵。