電磁感應定律
一般來說，電動勢\(\varepsilon\)在環繞表面的線環\(\sigma\)中，導線中的電場為\(E\)，有下式存在
\[\varepsilon = \oint_{\sigma}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
我們可以寫出麥克斯韋-法拉第方程的積分形式
\[\oint_{\sigma}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l} =-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\sum}\boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{A}
\]
按照磁通量變化的原因的不同，可以細分為動生電動勢和感生電動勢。
動生電動勢
在磁場內安放一個任意形狀的導線線圈\(L\)，線圈可以是閉合的，也可以是不閉合的。當這線圈在運動或者發生形變時，任意一小段\({\rm d}\boldsymbol{l}\)都有可能有一速度\(\boldsymbol{v}\)。整個線圈中產生的動生電動勢為
\[\varepsilon=\oint_L (\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
感生電動勢 渦旋電場
考慮一個固定的迴路\(L\)，\(S\)為以\(L\)為邊界的曲面。當透過它的外磁場發生變化時，在其中產生感生電動勢\(\varepsilon\)。利用法拉第電磁感應定律得到
\[\varepsilon=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t}=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\iint_S \boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\oint_L \boldsymbol{A\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=-\oint_L \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\boldsymbol\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}
\]
上式利用了斯托克斯定理和\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A}\)。由於迴路\(L\)是固定的，因此磁通量的變化完全是由磁感應強度\(\boldsymbol{B}\)的變化，或者說磁矢勢的變化引起的。產生感生電動勢的非靜電力\(\boldsymbol{K}\)等於
\[\boldsymbol{K}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
上述非靜電力就是渦旋電場，它是由變化的磁場所激發，描述渦旋電場的電場線是閉合的，屬於有旋場。用數學式子來表示，有
\[\varepsilon=\oint_L \boldsymbol{E}_旋\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}\\
\boldsymbol{E}_旋=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
在一般的情形下，空間的總電場是靜電場（勢場）和渦旋電場的疊加
\[\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_勢+\boldsymbol{E}_旋=-\boldsymbol{\nabla}U-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
磁矢勢與磁場中帶電粒子的動量
磁場中帶電粒子的動量守恆定律
考慮一個帶電粒子在電場\(\boldsymbol{E}\)和磁場\(\boldsymbol{B}\)中的運動。電場\(\boldsymbol{E}\)與磁矢勢\(\boldsymbol{A}\)的關係為
\[\boldsymbol{E}_旋=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}
\]
磁場\(\boldsymbol{B}\)與磁矢勢\(\boldsymbol{A}\)的關係為
\[\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A}
\]
磁矢勢\(\boldsymbol{A}\)是粒子的空間位置\(\boldsymbol{r}\)和時間\(t\)的函式，\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)\)。\(\boldsymbol{A}\)的變化主要有兩部分組成，第一部分為\(\boldsymbol{A}\)隨時間的變化
\[\Delta^{(1)}\boldsymbol{A}=\frac{\partial\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t}\Delta t
\]
第二部分為\(\boldsymbol{A}\)隨粒子1位置的移動的變化
\[\Delta^{(2)}\boldsymbol{A}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial x}v_x\Delta t+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial y}v_y\Delta t+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial z}v_z\Delta t \\
=(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}\Delta t
\]
在時間間隔\(\Delta t\)內\(\boldsymbol{A}\)的全部變化為
\[\Delta \boldsymbol{A}=\Delta^{(1)}\boldsymbol{A}+\Delta^{(2)}\boldsymbol{A}
\]
它對時間的全微商為
\[\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\boldsymbol{A}}{\Delta t}=\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\]
帶電粒子在電磁場中運動時，它所受到的力包括
\[\begin{split}
\boldsymbol{F} &= q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})\\
&=-q(\boldsymbol{\nabla}U+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times{A}}))
\end{split}
\]
注意\(\boldsymbol{v}\)不是分佈在空間中的場，對空間的微分為0。
\[\begin{split}
\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})
&=\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})+\boldsymbol{A\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v} \\
&=\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\end{split}
\]
得到
\[\boldsymbol{v\times}(\boldsymbol{\nabla\times}\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})-(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}
\]
代回得到
\[\boldsymbol{F}=-q[\boldsymbol{\nabla}U+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}+(\boldsymbol{v\cdot\nabla})\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot}\boldsymbol{A})]
\]
括號中的第二項和第三項剛好就是\(\boldsymbol{A}\)對時間的全微商。
\[\boldsymbol{F}=-q[\boldsymbol{\nabla}U+\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{v\cdot A})]=-q\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
粒子動量的時間變化率應當等於上式
\[\frac{{\rm d}(m\boldsymbol{v})}{{\rm d}t}=-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
移項後，得
\[\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A})=-q\frac{{\rm d}\boldsymbol{A}}{{\rm d}t}-q\boldsymbol{\nabla}(U-\boldsymbol{v\cdot A})
\]
\(m\boldsymbol{v}\)是粒子的動力動量，\(q\boldsymbol{A}\)是磁勢動量，二者之和
\[\boldsymbol{p}\equiv m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A}
\]
在分析力學中稱為正則動量(canonical momentum)或共軛動量(conjugate momentum)。\(U-\boldsymbol{v\cdot A}\)可以看作粒子在電磁場中的一種廣義勢，在廣義勢的梯度等於0的情況下，粒子的正則動量守恆
\[\boldsymbol{p}\equiv m\boldsymbol{v}+q\boldsymbol{A}=C
\]
這就是帶電粒子在電、磁場中運動時的動量守恆定律。
電磁場的相對論變換
不同的參考系中觀察到的電磁規律有什麼關係？在不同的參考系中觀察到的電場和磁場之間有什麼關係？在電磁學裡，無論速度多麼低，伽利略變換都不適用，這些問題的解決要靠相對論。
相對論力學的若干結論
1.洛倫茲變換
設\(K\)與\(K'\)是兩個座標原點重合的慣性系，取直角座標系\(Oxyz\)和\(O'x'y'z'\)，相應座標軸平行。開始計時後，\(K'\)系相對於\(K\)系以速度\(v\)沿\(x\)方向作勻速運動。洛倫茲變換的直觀形式為
\[\begin{cases}
x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\
y'=y \\
z'=z \\
t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
\end{cases}
\]
設時空間隔\(S^2=x^2+y^2+z^2=c^2t^2\)，變換後的\(S'^2\)為
\[S'^2=x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=S^2
\]
洛倫茲變換前後，\(S^2\)的值沒有發生改變。不妨設\(\beta=v/c\)，\(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\)，並把時間寫成虛變數\(w=ict\)，\((x,y,z,w)\)稱之為閔可夫斯基空間中的四維向量，洛倫茲變換變為
\[\begin{cases}
x'=\gamma(x+i\beta\omega),\\
y'=y,\\
z'=z,\\
w'=\gamma(w-i\beta x).
\end{cases}
\]
洛倫茲變換是復閔可夫斯基空間中的正交變換，舉下例來說明：設想將\(xOw\)座標系繞座標原點逆時針旋轉\(\theta\)，則有
\[\begin{cases}
x'=x\cos\theta+w\sin\theta\\
w'=-x\sin\theta+w\cos\theta
\end{cases}
\]
與洛倫茲變換對照，得到
\[\begin{cases}
\gamma=\cos\theta\\
i\beta\gamma=\sin\theta
\end{cases}
\]
即，洛倫茲變換刻畫了閔可夫斯基空間的一種轉動，轉動前後空間距離\(S\)不變，屬於正交變換。要定義一個閔可夫斯基空間裡的四維向量，它必須與\((x,y,z,w)\)一樣服從洛倫茲變換。
2.四維速度
取固有時\({\rm d}\tau={\rm d}t/\gamma\)，即相對於粒子靜止的時鐘顯示的時間間隔，四維速度\((u_x,u_y,u_z,u_t)\)定義為
\[\begin{cases}
u_x=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}\tau}=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=v_x\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=\gamma v_x,\\
u_y=\gamma v_y,\\
u_z=\gamma v_z,\\
u_t=\frac{{\rm d}w}{{\rm d}\tau}=\frac{{\rm d}w}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=ic\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}=ic\gamma.
\end{cases}
\]
四維速度是四維向量，服從洛倫茲變換。
3.四維動量
四維動量是由三維動量\(\boldsymbol{p}=(p_x,p_y,p_z)\)和能量\(E\)組成的四維向量，\(p_t=iE/c\)
\[\begin{cases}
p_x'=\gamma(p_x+i\beta p_t),\\
p_y'=p_y,\\
p_z'=p_z,\\
p_t'=\gamma(p_t-i\beta p_x)
\end{cases}
\]
電磁場的變換公式
按照狹義相對論，不同慣性系之間的時空座標變換是洛倫茲變換，相對性原理要求從一個慣性系變換到另一個慣性系時基本物理規律的形式保持不變，這稱為基本物理規律的洛倫茲協變性。此處的電磁學基本規律指的是麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式
\[\boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{B})
\]
另外，實驗表明，電量不隨參考系的變換而發生改變。下面從洛倫茲力公式的協變性和電荷的不變性出發，匯出不同慣性系之間的電磁場變換公式。
如前所述，四維動量是四維向量，服從洛倫茲變換。但是四維動量對時間的導數
\[\begin{cases}
\frac{{\rm d}p_x}{{\rm d}t}=f_x,\\
\frac{{\rm d}p_y}{{\rm d}t}=f_y,\\
\frac{{\rm d}p_z}{{\rm d}t}=f_z,\\
\frac{{\rm d}p_t}{{\rm d}t}=\frac{i}{c}\frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}=\frac{i}{c}P.
\end{cases}
\]
即由力的三個分量\((f_x,f_y,f_z)\)和功率\(P\)的組合並不構成四維向量。不過，取固有時\({\rm d}\tau={\rm d}t/\gamma\)，即相對於粒子靜止的時鐘顯示的時間間隔，如果將\({\rm d}t\)換成固有時，或者說，將上述四個量乘以\(\gamma\)
\[\begin{equation*}
\begin{cases}
F_x=\gamma f_x,\\
F_y=\gamma f_y,\\
F_z=\gamma f_z,\\
F_t=\frac{i}{c}\gamma P
\end{cases}
\end{equation*}
\]
就變成四維向量了，它服從洛倫茲變換
\[\begin{cases}
F_x'=\gamma (F_x+i\beta F_t),\\
F_y'=F_y,\\
F_z'=F_z,\\
F_t'=\gamma(F_t-i\beta F_x).
\end{cases}
\]
洛倫茲力的分量和功率的公式為
\[\begin{cases}
f_x=q(E_x+v_yB_z-v_zB_y),\\
f_y=q(E_y+v_zB_x-v_xB_z),\\
f_z=q(E_z+v_xB_y-v_yB_x),\\
\frac{i}{c}P=\frac{iq}{c}(v_xE_x+v_yE_y+v_zE_z).
\end{cases}
\]
乘以\({\rm d}t/{\rm d}\tau\)，注意到\(v_x{\rm d}t/{\rm d}\tau={\rm d}x/{\rm d}\tau=u_x,u_t=ic\gamma\)
\[\begin{cases}
F_x=q(\frac{-i}{c}u_tE_x+u_yB_z-u_zB_y),\\
F_y=q(\frac{-i}{c}u_tE_y+u_zB_x-u_xB_z),\\
F_z=q(\frac{-i}{c}u_tE_z+u_xB_y-u_yB_x),\\
F_t=\frac{iq}{c}(u_xB_x+u_yE_y+u_zE_z).
\end{cases}
\]
洛倫茲力的協變性要求，從\(K\)系變換到\(K'\)系，上式的數學形式不變。
相對論力學要求，上式中的\((F_x,F_y,F_z,F_t)\)和\((u_x,u_y,u_z,u_t)\)的變換服從前邊推導過的洛倫茲變換公式。
利用\(K\)到\(K'\)的洛倫茲變換，將\(F_x'\)展開得
\[\begin{split}
F_x' &=\gamma(F_x+i\beta F_t) \\
&=\gamma[q(\frac{-i}{c}u_tE_x+u_yB_z-u_zB_y)+i\beta\frac{iq}{c}(u_xB_x+u_yB_y+u_zB_z)]
\end{split}
\]
把上式中的\(u_x,u_y.u_z.u_t\)利用洛倫茲變換替換成\(u_x',u_y',u_z',u_t'\)得
\[\begin{split}
F_x'&=\gamma\{q[\frac{-i\gamma}{c}(u_t'+i\beta u_x')E_x+u_y'B_z-u_z'B_y]
+i\beta\frac{iq}{c}[\gamma(u_x'-i\beta u_t')E_x+u_y'E_y+u_z'E_z] \}\\
&=\frac{-iq\gamma^2}{c}(1-\beta^2)E_xu_t'-q\gamma(B_y+\frac{\beta}{c}E_z)u_z'+q\gamma(B_z-\frac{\beta}{c}E_y)u_y'
\end{split}
\]
將上式與洛倫茲力的分量表示式
\[F_x'=q(\frac{-i}{c}u_t'E_x'+u_y'B_z'-u_z'B_y')
\]
對照，\(u_t',u_z',u_y'\)的係數分別相等，得到
\[B_z'=\gamma(B_z-\frac{\beta}{c}E_y),\\
B_y'=\gamma(B_y+\frac{\beta}{c}E_z),\\
E_x'=E_x.
\]
同理，利用\(F_y',F_z'\)可以得到其餘分量的變換式。最後的結果為
\[\begin{cases}
E_x'=E_x,\\
E_y'=\gamma(E_y-VB_z),\\
E_z'=\gamma(E_z+VB_y).
\end{cases}
\]
\[\begin{cases}
B_x'=B_x,\\
B_y'=\gamma(B_y+\frac{V}{c^2}E_z),\\
B_z'=\gamma(B_z-\frac{V}{c^2}E_y).
\end{cases}
\]
運動點電荷的電場
下面根據電磁場的變換公式匯出勻速運動的點電荷產生的電場。
考慮一個電量為\(q\)的點電荷靜止地置於參考系\(K'\)的座標原點。在\(K'\)系中，該點電荷產生的電場是靜電場
\[\boldsymbol{E'}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\boldsymbol{\hat{r'}}}{r'^2}
\]
它的三個分量為
\[\begin{cases}
E_x'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx'}{r'^3},\\
E_y'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qy'}{r'^3},\\
E_z'=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qz'}{r'^3}.
\end{cases}
\]
其中\(r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}\)。由於\(K'\)系中的點電荷靜止，不存在磁場，即
\[B_x'=0,\quad B_y'=0,\quad B_z'=0
\]
現在設參考系\(K'\)相對於\(K\)系以沿\(x\)軸正向的速度\(v\)運動。在\(K\)系中的電場就是待求的電場。
\[E_x=E_x',\quad E_y=\gamma E_y',\quad E_z=\gamma E_z'
\]
代入\(E'\)各分量表示式，並利用\((x,y,z,w)\)的洛倫茲變換得到
\[\begin{cases}
E_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qx'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma(x-vt)}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}},\\
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma qy'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma y}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}},\\
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\gamma qz'}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma z}{[\gamma^2(x-vt)^2+y^2+z^2]^{3/2}}
\end{cases}
\]
為了更直觀地分析場強大小的分佈情況，不妨取\(t=0\)的位置，此時電荷剛好在\(K\)系的座標原點
\[\begin{cases}
E_x=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma x}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\\
E_y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma y}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}},\\
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\gamma z}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.
\end{cases}
\]
\[\begin{split}
E^2&=E_x^2+E_y^2+E_z^2 \\
&=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2\gamma^2(x^2+y^2+z^2)}{(\gamma^2 x^2+y^2+z^2)^{3}}\\
&=\frac{1}{(4\pi\varepsilon_0)^2}\frac{q^2(1-\beta^2)^2}{(x^2+y^2+z^2)[1-\frac{\beta^2(y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}]^{3}}
\end{split}
\]
注意到矢徑與速度\(v\)之間的夾角，也就是與\(x\)軸之間的夾角\(\theta\)，且\(\sin^2\theta=\frac{y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\[E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}\cdot\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}}
\]
可見場強的大小與\(r\)和夾角都有關，當\(\theta=\pi/2\)時，場強最大，也就是說場強在\(yz\)平面附近比較密集，電荷的速度越大，這一效應越明顯。
運動點電荷的磁場
繼續利用電磁場變換公式得到點電荷勻速運動情況下空間的磁感應強度
\[\begin{cases}
B_x=0,\\
B_y=-\gamma \frac{v}{c^2}E_z'=\frac{v}{c^2}E_z,\\
B_z=\gamma\frac{v}{c^2}E_y'=\frac{v}{c^2}E_y.
\end{cases}
\]
寫成向量式為
\[\boldsymbol{B}=\frac{1}{c^2}\boldsymbol{v\times}\boldsymbol{E}
\]
空間的磁場也是隨時間變化，並且磁感線是一系列的同心圓。
互感和自感
互感
一個線圈的電流的變化引起另一個線圈的磁通量的變化，在另一個線圈中產生感應電動勢。
\[\Psi_{12}=M_{12}I_1
\]
\[\Psi_{21}=M_{21}I_2
\]
線圈1線上圈2中產生的感應電動勢為
\[\varepsilon_2=-M_{12}\frac{{\rm d}I_1}{{\rm d}t}
\]
線圈2線上圈1中產生的感應電動勢為
\[\varepsilon_1=-M_{21}\frac{{\rm d}I_2}{{\rm d}t}
\]
\(M_{21}\)和\(M_{12}\)稱為互感係數，並且它們是相等的。
自感
一個線圈中的電流的變化引起自身的磁通量的變化，進而產生感應電動勢。
\[\Psi = LI
\]
\[\varepsilon=-L\ \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}
\]
電感儲能
一個通電的線圈也會儲存一定的能量。考慮一個線圈的情況：當線圈剛剛通電時，線圈中的電流不會立即從0突變到穩定值，這是由於自感電動勢的存在。在這個過程中，外電源的電動勢不僅要供給電路中的焦耳熱的能量，還要克服自感電動勢做功，這一部分功最後會轉變成電感中的磁場能儲存起來。在時間\({\rm d}t\)內，電源的電動勢反抗電感的自感電動勢做的功為
\[{\rm d}A=-\varepsilon_L i{\rm d}t
\]
其中\(\varepsilon_L\)為
\[\varepsilon_L=-L\ \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}
\]
因此
\[{\rm d}A=Li{\rm d}i
\]
在建立電流的整個過程中，電源的電動勢反抗自感電動勢做的功為
\[A=\int{\rm d}A=\int_0^I Li{\rm d}i=\frac{1}{2}LI^2
\]
這就是線圈中儲存的能量。