上節課知識補充
凸錐的幾何解釋
不斷改變形狀的平行四邊形
仿射集、凸錐、凸組合的關係
因為凸集的條件是其餘兩個條件的並集，因此
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為什麼不是條件越多的，表示範圍越小？
因為在定義仿射集、凸集的時候，要求的是“任意的\(\theta\)組合滿足“。“任意”的限制越少，反而約束的物件越多（舉例：任意人>任意男性>任意男孩），也就越嚴格（對任意人滿足，必然對任意男性、男孩滿足）。也就是隻要對任意\(\theta_1+\cdots+\theta_k=1\)滿足，也就對任意\(\theta_1+\cdots+\theta_k=1,\theta_1,\cdots,\theta_k\ge 0\)滿足，因此仿射集必為凸集。
總結：條件的範圍越小，結論越弱，越容易成為推論
幾種重要的凸集
有集合解釋的集合
超平面與半空間
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超平面
- 超平面不一定是平面，因此不一定是2維，是比\(x\)維度低一維的集合
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半空間
- 原空間被超平面所劃分後的空間
球和橢球
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球
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二範數表示向量長度（歐氏距離）
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證明球是凸集：
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三角不等式：兩邊之和不小於第三邊
\[\|x+y\|_{2}\le\|x\|_{2}+\|y\|_{2} \]向量相加時考慮三角不等式
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柯西不等式：最大的平行四邊形是矩形
\[\left|x^{T} y\right| \leq\|x\|_{2}\|y\|_{2} \]向量內積時考慮柯西不等式
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橢球
- 正定矩陣\(P\)
- 只有方陣才能定義特徵值（\(Ax=\lambda x\)因此橫縱維度必須一致），為了推廣到一般矩陣，就有了奇異值，也就是將原矩陣先轉換成一個方陣\(A^T A\)
- 由於對稱矩陣特徵值非負，因此定義奇異值為新矩陣特徵值開根號\(\sqrt{\text{eig}(A^T A)}\)
- 當\(P\)為單位陣的時候，退化為球
- 當\(P\)為對角陣的時候，長短半軸剛好在座標軸上
- 正定矩陣\(P\)
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多面體
- 有限個半空間（線性不等式）和半平面（線性等式）的交集
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單純形
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單純形是\(k\)個構成線性無關向量的點的凸包
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單純性維度不能超過空間維度（二維中是三角形，三維中是四面體）
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證明：任一單純形一定是一個多面體
思路：構造法，將單純形內點的表示轉化為多面體的表示
【還沒完全看懂，之後更新】
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抽象集合
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對稱矩陣集合：\(\mathbf{S}^{n}=\left\{X \in \mathbf{R}^{n \times n} \mid X=X^{T}\right\}\)
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對稱半正定矩陣集合：\(\mathbf{S}_{+}^{n}=\left\{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succeq 0\right\}\)
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證明：是凸錐
用正定的定義：任意\(x\in\mathcal{R}^2\)，有\(x^TAX\ge 0\)
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對稱正定矩陣集合：\(\mathbf{S}_{++}^{n}=\left\{X \in \mathbf{S}^{n} \mid X \succ 0\right\}\)