仿射集
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定義
- 等價定義：線性方程組的解集\(C=\{x \mid A x=b\}\)是仿射集，對應的子空間是\(A\)的化零空間
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理解
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仿射集內任意兩點的所在的直線也在仿射集內
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仿射集內多個點的仿射組合\(\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k},\theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\)也在放射集內
證明思路：先將兩個點用放射組合構成一個新的點，該點在仿射集內；依次組合下去，則最新的點同時滿足1）是原有若干點的仿射組合；2）在仿射集內
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“仿射”的含義就是任意兩點連線成直線的並集
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特殊的仿射集：仿射集\(C\)的子空間 \(V=C-x_{0}=\left\{x-x_{0} \mid x \in C\right\},\alpha v_{1}+\beta v_{2} \in V\)
- 證明\(V\)也是仿射集且任意\(\alpha,\beta\)有\(\alpha v_{1}+\beta v_{2} \in V\)：\(\alpha v_{1}+\beta v_{2}+x_{0}=\alpha\left(v_{1}+x_{0}\right)+\beta\left(v_{2}+x_{0}\right)+(1-\alpha-\beta) x_{0} \in C\)
- 子空間有更好的性質，只要是線性組合都在該空間內
任何空間都滿足\(\forall \alpha, \beta \in V, k_{1}, k_{2} \in P, k_{1} \alpha+k_{2} \beta \in V\)，因此一定是一個仿射集
- 空間一定包含原點\((0,0)\)（原仿射集中的\(x_0\)）
- 注意\(x_0\)也要在仿射集內
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給定任意集合\(C \subseteq \mathbf{R}^{n}\)，構造儘可能小的仿射集：仿射包（the set of all affine combinations of points）
\[\operatorname{aff} C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{1}, \ldots, x_{k} \in C, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\} \]
凸集
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定義：
一個集合是凸集，當任意兩點之間的線段仍在集合內
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理解
- 相較於仿射集增加了\(0 \leq \theta \leq 1\)的條件，因此表述範圍更小（是子集），凸集\(\sub\)仿射集
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凸包：（the set of all convex combinations of points）
\[\operatorname{conv} C=\left\{\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{k} x_{k} \mid x_{i} \in C, \theta_{i} \geq 0, i=1, \ldots, k, \theta_{1}+\cdots+\theta_{k}=1\right\} \]
錐/凸錐
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定義：
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理解：
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錐的定義沒有元素的組合，只有\(\theta x \in C\)
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錐可以看成頭集中在原點的若干火柴的拼接（無窮多組原點起點的射線組成）
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凸錐=錐+凸集
凸錐的定義是任意的\(\theta_1,\theta_2\)，因此包含了\(\theta_1+\theta_2=1\)的情況，描述範圍更窄，凸錐一定是凸集
（條件裡面加任意，其實是條件更嚴苛，對應的往往範圍更小）
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凸錐包：包含集合所有點以及原點的最小冰淇淋
相互比較以及特殊的集合
基本框架都是滿足：對於任意\(x_1,x_2\in C\)，則\(\theta_1 x_1+\theta_2 x_2 \in C\)（線性組合仍屬於集合）
區別是係數的條件（越來越苛刻）
- 仿射集：\(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_k=1\)，係數和為1（構成直線）
- 凸集：\(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_k=1\)，\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\in[0,1]\)，係數和為1，每個係數在0到1之間（構成線段）
- 凸錐：\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\in[0,+\infty)\)，非負係數（構成射線）
特殊的集合
- 單點集：仿射集、凸集、僅當原點時是凸錐
- 空集：仿射集、凸集、凸錐