各種維度正態分佈公式：
一維正態分佈
二維正態分佈/多維正態分佈
各向同性正態分佈
注：即方差都是一樣的，均值不一樣，方差的值可以單獨用標量表示。
多元/多維高斯/正態分佈機率密度函式推導 (Derivation of the Multivariate/Multidimensional Normal/Gaussian Density)
作者：凱魯嘎吉 - 部落格園 http://www.cnblogs.com/kailugaji/（大佬大佬！！）
當年在學《機率論與數理統計》時，遇到二元正態分佈的機率密度函式，那個公式特別長，當時只是要求記住，並未深究其原因，今天終於有機會好好回顧一下了。二元/二維只是多元的一個特例，現在將問題延伸到多元/多維高斯/正態分佈機率密度函式的推導上。多元高斯分佈在很多場景下都有用，比如高斯混合模型(Gaussian Mixture Model)中，每個元件都是單個多元高斯分佈，樣本不僅是一維的，現實中大多是資料樣本都是多維的。只有真正弄清楚公式的來龍去脈，來能更好的編寫程式，進行實現(雖然很多包都是現成的，不需要自己從頭編寫)。想要推導機率密度函式公式，需要知道線性代數中矩陣論的一些基礎知識，從單變數到二元/二維再延伸到多元/多維，本身就涉及到從標量到向量再到矩陣的一個過程。這篇部落格詳細推導了多元/多維高斯/正態分佈機率密度函式公式，並應用到二維高斯分佈中，進行進一步分析。也給出了當維度之間獨立同分布(Independent identically distributed, i.i.d.)情況下多維高斯分佈的機率密度函式的特例。值得注意的是，整個過程僅是對一個樣本進行計算，該樣本無論是一個標量，還是一個多維向量，最終出來的機率密度函式都是一個數(標量)。如果有N個樣本(按列排開)的話，其機率密度函式就是N維列向量。
注意：多元就是多維，高斯分佈就是正態分佈。(只是大概推導，過程可能並不嚴謹，望海涵)
1 前提基礎
包括連續隨機變數變換法(Transformations of Continuous Random Variables)，單變數正態分佈的機率密度函式(Univariate Normal Density)，以及隨機變數間的獨立性(Independence of Random Variables)。
2. 多維高斯分佈的機率密度函式定義及其推導
3. 多維高斯分佈的機率密度函式(維度之間獨立同分布)
4. 二維高斯分佈的機率密度函式定義及其推導
參考文獻：機率論筆記（六）一維正態分佈/二維正態分佈/多維正態分佈-CSDN部落格
多元/多維高斯/正態分佈機率密度函式推導 (Derivation of the Multivariate/Multidimensional Normal/Gaussian Density) - 凱魯嘎吉 - 部落格園 (cnblogs.com)
[1] 茆詩松, 程依明, 濮曉龍. 機率論與數理統計教程. 高等教育出版社, 2011.
[2] The Multivariate Normal Distribution http://www.randomservices.org/random/special/MultiNormal.html
[3] Basic Multivariate Normal Theory http://www2.stat.duke.edu/~st118/sta732/mvnormal.pdf
[4] 凱魯嘎吉 - 部落格園 - 左邊欄搜尋"高斯"相關博文 https://zzk.cnblogs.com/my/s/blogpost-p?Keywords=%E9%AB%98%E6%96%AF