卡特蘭數應用

下面應用轉自Wikipedia（http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0）：

 

組合數學中有非常多的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用n=3和n=4舉若干例：

• C_n表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的字首字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，C_n表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• C_n表示有n個節點組成不同構二叉樹的方案數。下圖中，n等於3，圓形表示節點，月牙形表示什麼都沒有。

• C_n表示有2n+1個節點組成不同構滿二叉樹（full binary tree）的方案數。下圖中，n等於3，圓形表示內部節點，月牙形表示外部節點。本質同上。

      

    證明：

    令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進位制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進位制數共有個，下面考慮不滿足要求的數目。

    考慮一個含n個1、n個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而。證畢。

• C_n表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數：X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n = 4的情況：

       

• C_n表示通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n = 4的情況：

      

• C_n表示對{1, ..., n}依序進出棧的置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ..., n),其中S（w）遞迴定義如下：令w = unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。

• C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉劃分的個數.那麼, C_n永遠不大於第n項貝爾數. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉劃分的個數，其中每個段落的長度為2。綜合這兩個結論，可以用數學歸納法證明：在 魏格納半圓分佈定律 中度數大於2的情形下，所有 自由的 累積量s 為零。 該定律在 自由概率論 和 隨機矩陣 理論中非常重要。

• C_n表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為n = 4的情況：

       

• C_n表示表為2×n的矩陣的標準楊氏矩陣的數量。 也就是說，它是數字 1, 2, ..., 2n 被放置在一個2×n的矩形中並保證每行每列的數字升序排列的方案數。同樣的，該式可由勾長公式的一個特殊情形推導得出。

• C_n表示n個無標號物品的半序的個數。