[CareerCup] 5.7 Find Missing Integer 查詢丟失的數

Grandyang發表於2015-08-21

 

5.7 An array A contains all the integers from 0 to n, except for one number which is missing. In this problem, we cannot access an entire integer in A with a single operation. The elements of A are represented in binary, and the only operation we can use to access them is "fetch the jth bit of A[i]," which takes constant time. Write code to find the missing integer. Can you do it in 0(n) time?

 

這道題給我們一個0到n的陣列，然後其中一個數丟失了，讓我們找到這個數。一個比較容易想到的方法是先用高斯求和公式求出等差數列0到n的和，然後遍歷陣列求所有數字之和，那麼差值就是結果。但是這個解法就沒有用到高大上的位操作Bit Manipulation，也許也不是出題人想考察的方法。題目中說了所有的整型數都是以二進位制數表示的，而且可以以O(1)的時間來訪問任意一位，這也很明顯的提示了我們用位操作。我們先來看一個n=13的例子，那麼0到13的二進位制數表示如下：

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
00011        00111        01011

然後我們觀察上面的數字的最低有效位Least Significant Bit (LSB)，然後我們統計1和0的個數，我們可以得出一個規律，當n是奇數時，0和1的個數相等，當n是偶數時，0比1多一個。那麼當我們移除一個數的話，就有下面四種情況：

 

N為偶數，0比1多一個

N為奇數，0和1個數相等

移除0

0和1個數相等

0比1個數少

移除1

0比1個數多

0比1個數多

從上表可以看出來我們比較LSB的1和0的個數就可以知道移除的是1還是0，只要0的個數小於等於1，就是移除0，若0的個數大於1，就是移除1.我們一旦知道最低有效位移除的值，那麼把所有不符合要求的都去掉，然後再用相同方法來判斷倒數第二低有效位，以此類推直到所有的數字都被移除了，具體過程參見如下，當n=13，且移除了一個數：

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

那麼我們來統計最低有效位的0和1的個數，發現0比1個數多，由此我們知道移除的數的最低有效位是1，那麼我們把所有最低有效位是0的數都去掉：

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

我們再來統計倒數第二低有效位的0和1的個數，我們發現0比1個數多，那麼移除數的倒數第二低有效位還是1，同樣把其他的去掉：

00000        00100        01000        01100
00001        00101        01001        01101
00010        00110        01010
------           00111        01011

我們再來統計倒數第三低有效位的0和1的個數，我們發現0比1個數相等，那麼移除數的倒數第三低有效位是0，同樣把其他的去掉，那麼就只剩下一個了:

01011

那麼倒數第四低有效位的0比1個數小，移除的是0，在把這個不是0的刪掉，則陣列為空了，我們就可以停止了，把所有移除的組合起來就得到0011，也就是最後的答案了，參見程式碼如下：

 

class Solution {
public:
    int findMissing(vector<int> nums) {
        return findMissing(nums, 0);
    }
    int findMissing(vector<int> nums, int col) {
        if (nums.empty()) return 0;
        vector<int> oneBits, zeroBits;
        for (auto &a : nums) {
            if (fetch(a, col) == 0) zeroBits.push_back(a);
            else oneBits.push_back(a);
        }
        if (zeroBits.size() <= oneBits.size()) {
            int v = findMissing(zeroBits, col + 1);
            return (v << 1) | 0;
        } else {
            int v = findMissing(oneBits, col + 1);
            return (v << 1) | 1;
        }
    }
    int fetch(int n, int col) {
        return n & (int)pow(2, col);
    }
};

 

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