靜電場 恆定電流場 知識梳理

前言

最近琢磨了一下Markdown插入LaTeX數學公式，感覺效果確實很不錯🧐

剛好最近比較閒，正想把新概念物理電磁學仔細看一遍，那就拿它來練手好了。下面主要把自己不太熟悉的知識詳細解釋了一下，比較簡單的就一筆帶過了。

\[\def\ooint{{\bigcirc}\kern-11.5pt{\int}\kern-6.5pt{\int}} \def\oooint{{\bigcirc}\kern-12.3pt{\int}\kern-7pt{\int}\kern-7pt{\int}} \]

§向量場

從流速場中獲得啟發。
源（\(\rm source\)）：表示S面內從中流出，對應公式表達為

\[\ooint_S v \cos \theta{\rm d}S>0 \]

匯（\(\rm sink\)）：表示S面流入。
為了描述渦旋現象，考慮

\[\boldsymbol{v}\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}=v\cos\theta{\rm d}l=v_{\parallel}{\rm d}l \]

沿閉合環路的積分為

\[\oint_{(L)}v\cos\theta{\rm d}l \]

上式大於0，表示存在與環路\(L\)繞行方向相同的渦線穿過迴路。反過來，上式小於0，表示存在與環路\(L\)繞行方向相反的渦線穿過迴路。

流速場中是否有源和匯，是否有渦旋，他們在什麼地方，強度如何，是區分不同流速場性質的重要因素，它們是由流速場透過閉合曲面的流量和沿閉合曲線的環流表達出來的。因此流速場的規律性可透過流量和環流表達出來。

類比流速場，計算電場對閉合曲面的面積分\(\oint E\cos\theta{\rm d}S\)（稱之為“通量”）和電場沿閉合曲線的線積分\(\oint E\cos\theta{\rm d}l\)（稱之為“環量”）。

§高斯定理

立體角

立體角的公式

\[{\rm d}\mathit{\Omega}=\frac{\hat{\boldsymbol{r\cdot}}{\rm d}{\boldsymbol S}}{r^2} \]

式中\(\hat{\boldsymbol{r}}\)為單位徑矢。

電通量

定義如下物理量為透過面元\({\rm d}{\boldsymbol S}\)的電通量：

\[{\rm d}{\mathit{\Phi}_E} = E \cos\theta{\rm d}S = \boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}\\ \Phi_E=\iint_{(S)}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S} \]

法向向量的約定：對於閉合曲面，總是取它的外法向向量。

高斯定理

公式表述

\[\Phi_E=\ooint_{(S)}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\ooint_{(S)}E\cos\theta{\rm d}S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_i q_i\tag{1.18} \]

其中\(\boldsymbol E\)是帶點體系所有電荷（無論是在高斯面內還是高斯面外）產生的總場強，而\(\sum q\)只是對高斯面內的電荷求和，這表明高斯定理表述的內容是高斯面外的電荷對總通量沒有貢獻，但不是對總場強\(\boldsymbol{E}\)沒有貢獻。

§電勢及其梯度

靜電場力所做的功與路徑無關。這是靜電場的一個很重要的基本性質。另一種等價表述：在靜電場中取一任意閉合環路\(L\)，考慮場強\(\boldsymbol{E}\)沿此閉合環路的線積分\(\mathit{\Gamma}_E=\oint\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}\)（\(\mathit{\Gamma}_E\)稱為環量）。由於做功與路徑無關，故

\[\oint\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=0\tag{1.28} \]

上式表示，靜電場中場強沿任意閉合環路的線積分，即環量恆等於0。我們且把它叫做靜電場的環路定理。
電勢\(U\)的梯度與電場強度之間的關係為

\[\boldsymbol{E} = -\boldsymbol\nabla U \]

§靜電能

我們設想，帶電體系中的電荷可以無限分割為許多小部分，這些部分最初都分散在彼此相距很遠的位置上。通常規定，處在這種狀態下的帶電體的靜電能為0。進一步，帶電體系的靜電能\(W_e\)等於把各部分電荷從無限分散的狀態聚整合現有帶電體系時抵抗靜電力所作的全部功\(A'\)。

\[W_e=W_互+W_自 \]

其中：
\(W_e\)：帶電體系的總靜電能
\(W_互\)：各帶電體之間的相互作用能 ，即把每個帶電體看作一個不可分割的整體，把各帶電體從無限遠移到現在位置所作的功。
\(W_自\)：各個帶電體的自能，即把各個帶電體上的各部分電荷從無限分散的狀態聚集起來時所作的功。需要注意的是，不是所有的帶電體都有自能一說，例如點電荷和線電荷的自能為無窮大。在這兩種情況下只考慮他們的相互作用能。

真空中點電荷的相互作用能

(1)兩個點電荷的情形
不妨設將帶電體系中的所有點電荷從無窮遠處移動到應在的位置，克服靜電力做功為\(A'\)，則

\[A'=q_2U_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}} \]

(2)多個點電荷的情形
將上述結果推廣到多個點電荷。設點電荷有\(n\)個。依次將這些點電荷由無窮遠的地方搬運到它們應在的位置，則搬運各個點電荷的功分別是

\[\begin{cases} A_1'=0,\\A_2'=q_2U_{12}, \\A_3'=q_3{(U_{13}+U_{23})}, \\\cdots \\A_n'=q_n(U_{1n}+U_{2n}+\cdots+U_{n-1,n}). \end{cases} \]

用通式來表達，則有

\[A_i'=q_i\sum_{j=1}^{i-1}U_{ji},(i=1,2,\cdots,n) \]

其中

\[U_{ji}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_j}{r_{ij}} \]

建立帶電系統的總功為

\[A'=\sum_{i=1}^n A_i'=\sum_{i=1}^n q_i\sum_{j=1}^{i-1}U_{ji}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\frac{q_iq_j}{r_{ij}} \]

利用對稱性，\(A'\)可寫成

\[A'=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nq_iU_i\tag{1.59} \]

其中\(U_i\)是除了\(q_i\)以外其餘各點在\(q_i\)的位置上產生的電勢

\[U_i=\sum_{j=1(j\not ={i})}^n U_{ji} \]

以上是新概念物理中給出的推導過程，實際上透過類似於數學歸納法的方式可以更直觀地得到(1.59)式。不管怎麼說，最重要的還是最後這一個式子。

連續電荷分佈的靜電能

推廣式(1.59)，以體電荷分佈為例,將體電荷無限分割

\[W_e=\frac{1}{2}\sum_i \rho_e\Delta V_i U_i \]

取\(\Delta V_i \to 0\)的極限，有

\[We = \frac{1}{2}\iiint\rho_e U {\rm d}V \]

寫出上述積分，就意味著帶電體的電荷已經被無限分割，因而得到的也是總靜電能\(W_e\)。

面電荷分佈的靜電能

設面電荷分佈密度為\(\sigma_e\)，將面電荷無限分割為圓狀面電荷元\(\sigma_e {\rm d}S\)，其自身產生的電勢隨\({\rm d}S\)趨近於零，總靜電能為

\[W_e = \frac{1}{2} \iint_S\sigma_e U {\rm d}S \]

線電荷分佈的靜電能

注意，不能將線電荷的靜電能寫為

\[W_e = \frac{1}{2}\int\lambda_e U {\rm d}l \]

這是因為線電荷元\(\lambda_e{\rm d}l\)在自身處產生的電勢不僅不零，還會按照\({\rm{ln}}r\)趨於無窮。這在物理上意味著：要把電荷從極端分散狀態壓縮到一條几何線上，外界需要作無窮大的功。這顯然是辦不到的。因此，在計算靜電能時，無論線徑怎樣小的帶電體均不能當作線電荷處理。《新概念物理：電磁學》的59頁直接套用公式給出了線電荷靜電能的表示式，可能有誤。

多個帶電體組成的系統的靜電能

設有\(N\)個帶電體，則總靜電能為

\[W_e=W_互+W_自 \]

如前文所述，點電荷間、線電荷間可以計算互能。但是，不能計算點電荷、線電荷的自能（為無窮大）。

*靜電場邊值問題的唯一性定理*

表述：
給定各帶電體的幾何形狀、相互位置和下列條件之一：

1. 每個導體的電勢\(U_k\)；
2. 每個導體上的總電量\(Q_k\)；

空間裡的電場的恆定分佈被唯一地確定。

幾個引理

 (1)引理一 在無電荷的空間裡電勢不可能有極大值和極小值。
 (2)引理二 若所有導體的電勢為0，則導體以外空間的電勢處處為0。
 (2)引理三 若所有的導體都不帶電，則各導體的電勢都相等。
由引理二和引理三可以推出，在所有導體都不帶電的情況下，空間各處的電勢也和導體一樣，等於同一常量。

疊加原理

  電勢可以直接代數疊加。在給定各導體的幾何形狀、相互位置後，考慮下面這兩種不同的情況：
  (1)給定每個導體的電勢為\(U_{Ⅰk}\)（或總電量為\(Q_{Ⅰk}\)）
  (2)給定每個導體的電勢為\(U_{Ⅱk}\)（或總電量為\(Q_{Ⅱk}\)）
  在以上這兩種條件下，得到的電勢分佈分別為\(U_{Ⅰ}、U_{Ⅱ}\)。設這兩種電勢分佈的線性組合為\(U=aU_{Ⅰ}+bU_{Ⅱ}\)，那麼這一電勢分佈結果一定反過來對應初始條件：給定每個導體的電勢為\(U_k=aU_{Ⅰk}+bU_{Ⅱk}\)。這就是所謂疊加原理。
如果取一個特例：

\[U_{Ⅰk}=U_{Ⅱk},a=1,b=-1 \]

那麼線性組合後的電勢分佈對應的邊界條件為

\[U_k=U_{Ⅰk}-U_{Ⅱk}=0 \]

即，給定每個導體的電勢為0。

唯一性定理

  (1)給定每個導體電勢的情形
  不妨假設對於同一組邊界條件\(U_k(k=1,2,\cdots)\)（即，第\(k\)個導體的電勢為\(U_k\)，這作為邊界條件），可以求出兩種電勢分佈\(U_Ⅰ\)和\(U_Ⅱ\)，也就是說空間裡的電場分佈不唯一。現在取兩種電勢分佈的線性組合

\[U_k=U_{Ⅰk}-U_{Ⅱk} \]

  由於\(U_Ⅰ\)和\(U_Ⅱ\)的邊界條件相同，那麼\(U_k\)描述的就應當是所有導體上的電勢為0的恆定電勢分佈。再根據上式和引理二，此時空間電勢恆等於0，即\(U_Ⅰ\)恆等於\(U_Ⅱ\)。又因為電場強度就是電勢的負梯度(\(\boldsymbol{E}=-\boldsymbol\nabla U\))，所以電場分佈其實只有唯一解。
  (2)給定每個導體上總電量的情形
思路與(1)完全相同，只要先建立起第\(k\)個導體上的總電量\(Q_k\)和電勢\(U\)之間的關係

\[Q_k=\varepsilon_0 \oint_{S_k} E_n{\rm d}S = -\varepsilon_0\oint_{S_k} \frac{\partial U}{\partial n}{\rm d}S \]

然後根據引理三推導即可。
  把上述證明推廣到混合邊界條件（即部分導體給定電勢、部分給定總電量）的情形是不難的，證明從略。
  靜電場的唯一性定理的應用：
  靜電遮蔽——接地閉合空腔導體把空間分成互不影響的兩部分，接地空腔以外空間的場強僅由外部的電荷分佈決定，不受內部電荷變化的影響。導體空腔以內空間的場強僅由內部的電荷分佈決定，不受外部電荷變化的影響。
  電像法

§恆定電流場

電流密度向量

  單位時間內透過導體任意橫截面的電量，叫做電流，記作\(I\)。
  電流密度是一個向量，大小等於透過該點垂直截面的電流。在導體中某點取一個與電流方向垂直的截面元\({\rm d}S\)，則透過\({\rm d}S\)的電流\({\rm d}I\)與該點的電流密度\(j\)的關係是

\[{\rm d }I = j{\rm d}S \]

寫成向量形式

\[{\rm d}I={\boldsymbol{j\cdot}}{\rm d}\boldsymbol{S} \]

或

\[I=\iint_S \boldsymbol{j\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S} \]

歐姆定律的微分形式

\[\boldsymbol{j}=\sigma\boldsymbol{E} \]

電流的連續方程

  電流場的一個重要的基本性質是它的連續方程，其實質是電荷守恆定律。
  設想在導體內取任一一閉合曲面S，則在某段時間裡從這個面流出的電荷量應當等於這段時間裡S面內所包含的電量的減少。前者可以透過電流密度向量\(\boldsymbol j\)積分得到，後者則等於總電荷量\(q\)對時間的變化率，二者數值相等，用數學公式描述為

\[\ooint_S \boldsymbol{j\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\frac{{\rm d}q}{{\rm d}t} \]

  在恆定電流的條件下，電流場不隨時間變化，也就是說電荷的分佈不隨時間變化，即對於任一閉合曲面\(S\)，上式右側電量對時間的變化率為0。即

\[\ooint_S \boldsymbol{j\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=0 \]

此式叫做電流的恆定條件。電流線有進入必有對應流出，恆定電流的電流線不可能在任何地方中斷，他們永遠是閉合曲線（有點像磁力線）。

兩種導體分介面上的邊界條件

主要是處理不同導電率的大塊導體相連的情況。主要的邊界條件有兩條：

1. 電流密度\(j\)的法向分量連續
2. 電場強度\(\boldsymbol{E}\)的切向分量連續

其中，(1)可以由分介面上電流密度的積分連續得到，(2)可以在分介面上由靜電場的環路定理得到。

電流線在導體介面上的折射

電場線與分介面的夾角分別為\(\theta_1\)和\(\theta_2\)，如下圖所示

\[j_{1n}=j\cos\theta_1,\quad j_{2n}=j\cos\theta_2 \]

\[E_{1t}=E\sin\theta_1,\quad E_{2t}=E\sin\theta_2 \]

由邊界條件得

\[j_{1n}=j_{2n},\quad E_{1t}=E_{2t} \]

兩式相除得

\[\frac{E_1}{j_1}\tan\theta_1=\frac{E_2}{j_2}\tan\theta_2 \]

再由歐姆定律得微分形式得

\[\frac{{\rm tan}\theta_1}{{\rm tan}\theta_2} = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \]

即導體介面兩側電流線與法線夾角的正切之比等於兩側電導率之比。一些有趣的推論：如果導體1為不良導體或者絕緣體，導體2為良導體，則在不良導體一側電流線和電場線幾乎與介面垂直，而在良導體一側電流線和電場線幾乎與介面平行，從而電流線非常密集。這樣，高導電率的物質就把電流集中到自己內部。