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筆記
尤拉定理
- 尤拉定理
- 連通平面圖滿足 \(V - E + F = 2\)。
- 有 \(C\) 個連通塊的平面圖滿足 \(V - E + F = C + 1\)。
- 簡單連通平面圖滿足 \(E \le 3V - 6\)。
- 重要：平面圖滿足 \(E = O(V)\)。
- 可以用於證明 \(K_5\) 不是平面圖。
- 一個 \(V \ge 3\) 的簡單連通平面圖，如果它不含有 \(K_3\)（三元環），那麼 \(E \le 2V-4\)。
- 可以用於證明 \(K_{3,3}\) 不是平面圖。
圖同胚
- 圖的同胚操作：（能透過同胚操作轉換成同構圖的兩張圖稱為同胚的兩張圖）
- 切割（Wiki 上稱其為細分變換）：把邊 \(A \leftrightarrow C\) 更改為 \(A \leftrightarrow B \leftrightarrow C\)。
- 節點貫通（Wiki 上稱其為平滑變換）：對於一個度數為 \(2\) 的點 \(B\)，把 \(A \leftrightarrow B \leftrightarrow C\) 更改為 \(A \leftrightarrow C\)。
- Kuratowski's theorem：一張圖是平面圖的充要條件是不存在子圖同胚於 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\)。
- 推論：一張圖不是平面圖的充要條件是存在子圖同胚於 \(K_5\) 或 \(K_{3,3}\)。
對偶圖
嚴謹定義不想寫了，放一張 Wiki 上的圖：
其中藍圖為原圖，紅圖為其對偶圖（dual graph）。
- 連通平面圖的對偶圖是連通平面圖。
- 同構圖的對偶圖不一定同構。
- 平面圖最大流 = 平面圖最小割 = 對偶圖最短路。
- \(S \rightarrow T\) 的最大流，可以多連一條邊 \(S \leftrightarrow T\)，這條邊會把無限面分為兩半 \(S^*\) 和 \(T^*\)，在對偶圖上做 \(S^* \rightarrow T^*\) 的最短路即可。
A 平面圖判定
P3209 [HNOI2010] 平面圖判定
B 防鼠工程
P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子
平面圖最小割 = 對偶圖最短路 板子。雖然 Dinic 能過
C 團購
P10665 [AMPPZ2013] Bytehattan 好新的題
D
P2046 [NOI2010] 海拔