專欄 | 九章演算法
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題目描述
一群朋友去度假，有時互相借錢。
例如，愛麗絲為比爾的午餐支付了 10 美元。後來克里斯給愛麗絲 5 美元搭計程車。我們可以假設每筆交易為一個三元組(X,Y,Z)，這意味著第 X 個人借給第 Y 個人 Z 美元。假設 Alice，Bill 和 Chris 是第0，1，2 個人（0，1，2是他們的ID），他們之間的交易可以表示為[ [ 0，1，10 ]，[ 2，0，5 ] ]。
給定一組人之間的交易清單，返回結算所需的最低交易數量。
樣例 1
輸入 [[0,1,10], [2,0,5]]
輸出 2
樣例解釋
第 0 個人借給第 1 個人10美元
第 2 個人借給第 0 個人 5美元
需要2筆交易，其中一種方式是第1個人還給第0個人和第2個人各5美元。
樣例 2
輸入 [[0,1,10], [1,0,1], [1,2,5], [2,0,5]]
輸出 1
樣例解釋
第0個人借給第1個人10美元
第1個人借給第0個人1美元
第1個人借給第2個人5美元
第2個人借給第0個人5美元
只需要1筆交易，第1個人還給第0個人4美元債務就還清了。
解題思路
（一）
讀完題我們會發現每個人都有一個借錢的數量和一個還錢的數量(有可能是0)，如果這個人的這兩個值的和為0，那麼他就不需要還錢或者借錢給別人了。
證明：假設此人在借還之和為0的情況下收到 X 的錢，那麼為了收支平衡，必定要把這些錢給另外一個人 Y，那麼這樣不會比X把錢直接給 Y 得到的答案更優。
比如，設三個人的收支情況為[-2,0,2]，那麼第3個人把2轉移到第2個人，再由第2個人轉移到第1個人，需要2次交易，但是第3個人直接轉移給第1個人那麼只需要1次。
（二）
接下來我們只需要處理所有收支不為0的那些人。我們發現，(在資料合法的情況下)所有人的收支情況的和也是0，那麼我們就來分析一下如何讓答案最小。
對於預處理完收支情況的一個陣列 2 , 3 , -2 , -3 ，顯而易見答案是2 （2 → -2 , 3 → -3 ），但是還有一種不是最優的答案3（3 → -2 , 1 → -3 , 2 → -2）。那麼我們就能發現，最優答案是2個子問題([2,-2],[3,-3])的最優解的和。
我們可以用集合列舉所有的子集，找到每個子集的最優解從而解得總問題的最優解。在這裡我們可以把一個集合的子集定義為一個只有 0,1 的向量，
比如一個有3個元素的集合，他們的子集分別是000(空集),001,010,100,011,110,101,111(全集)，'1'代表這個子集裡有這個元素，'0'代表這個子集裡沒有這個元素。
再利用一個1~n迴圈來判斷這個子集裡有哪些元素，如101代表這個子集裡有第1個和第3個元素。
（三）
接下來我們分析這種解法的時間複雜度，假設去除所有收支平衡以後的人數為n，列舉子集的時間複雜度為O(2^n),對每個子集進行最優解分析也需要列舉它的所有子集(這些子集的最優解已經計算完成)，需要的時間複雜度也為O(2^n),最終的時間複雜度為O(4^n)。空間複雜度為O(2^n)。
參考程式碼
面試官角度分析
本題難度較大，可能會有多種解法，比如深度優先搜尋(需要列舉所有可能的交易情況)等，效率較低。
假如運用這種預處理+動態規劃或更高效的方法，那麼有 strong hire 的水平，如果能用其他解法(如搜尋)解出，則有 hire 的水平。
九章答案連結
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