2023 國慶CSP-J刷題營筆記整合

dienter發表於2024-08-07

筆記

Day1

列舉與搜尋

列舉

例1：洛谷P1008

考慮列舉所有三位數，可過，然而時間複雜度高，容易列舉沒寫不符合題目的答案
可找到1:2:3條件來列舉

例2：洛谷P1217

列舉a-b中所有迴文質數,TLE
列舉a-b中所有質數,TLE*2
列舉迴文數（正解）

列舉迴文數：
1. 列舉前一半（總結規律可以發現如果為質數第一位只能為1 3 7 9)
2. 判斷位數奇偶
	eg:
	列舉了前一半137
	奇數：137731
	偶數：13731

記錄數量，AC

例3：洛谷P1102
雙指標演算法

感覺類似莫隊，就是不斷縮小範圍直到最小區間

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int ans;
signed main(){
	int a[1000050],n;
	a[0]=-10000000;
	int vr,vl;
	cin>>n>>vl;
	vr=vl;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	int j1=0,j0=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		
		while(a[i]-a[j0]>vr) j0++;
		while(a[i]-a[j1]>=vl) j1++;
		if(j0<j1){
			ans+=j1-j0;
			//cout<<j1<<' '<<j0<<"\n";
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}
/*
4 1 1
1 1 2 3 
*/

搜尋

搜尋本質也是列舉，差別在於程式碼實現

全排列模型

DFS列舉全排列
~~STL大法好~~algorithm庫的next_permutation(p+1,p+n+1)函式，且當p為字典序最大的排列時，它會返回0，否則會返回1

兩種方法各有優劣，前者方便減枝，後者實現更為方便。

例1：洛谷P1219

列舉全排列，結束

二進位制模型、集合/正整數劃分模型.......

剪枝

變換搜尋順序洛谷P1074
可行性剪枝
物品排序後搜尋(沒有什麼道理,卻能使搜尋變得十分優秀。)
最優性剪枝（01揹包問題，但是DFS）

Day2

資料結構

連結串列：

單向連結串列：

模版：洛谷B3631

前項星:

本質：前項星是由多個單項鍊表組成，維護鏈頭陣列，然後可以支援每個點加邊。

struct nod
{
	int next,to;
}e[xx*2];
int cnt,h[xx];
void add(int x,int y){
	cnt++;
	e[cnt]={h[×],y};
	h[×]=cnt;
}
void dfs(int x,int y){
	for(int i=h[×];i;i=e[i].next)
		dfs(e[i].to,x);
}

洛谷P3916

雙向連結串列：

模版：洛谷P1160

就比單向連結串列多了個後繼而已=_=

棧

之所以重要，是因為它其實就是遞迴的邏輯結構，先進後出

STL：

stack<int>stk;
stk.push(1);
stk.pop();
cout<<stk.top()<<"\n";
cout<<stk.size()<<"\n";

洛谷B3614

單調棧

始終保持站內元素為單調的
比較下標優先

輸入序列：1 4 2 3 5
棧內變化：
5
5 3
5 3 2
5 4
5 4 1

用來求第一個大於某個元素的下標

洛谷P5788

動態陣列vector

顧名思義，它的容量是變化的，是動態的陣列

當內部使用的容量到達了它的上界，他的容量就會翻2倍。

如：

a={}          a.push_back(1)  0
a={1}         a.push_back(2)  1
a={1,2}       a.push_back(3)  2
a={1,2,3}     a.push_back(4)  4
a={1,2,3,4}   a.push_back(5)  8
a={1,2,3,4,5}                 16
     ...            ...

我們也可以分配記憶體a.resize()

也可以釋放記憶體vector<int>().swap(a)，預設是佔24位元組

佇列

就是模擬現實中的排隊的佇列，先進先出

洛谷B3616

雙端佇列（deque）

就是兩個頭相對的佇列合一塊，STL是支援隨機訪問

然而空間是特別大的，預設分配記憶體有80個位元組，1e6個記憶體總共80多MB

單調佇列

洛谷P1886

原理跟單調棧類似，就是可以取隊首元素可pop隊首了

堆

一種完全二叉樹，可以維護一個最小值或最大值，插入數值時間複雜度為\(O(log_2n\))，刪除同

洛谷P3378

對頂堆

一個序列，我們每次加入一個元素，或者進行詢問。

維護一個初始指標i=0，每次詢問的時候將i=i+1然後詢問第i小的值是多少。

洛谷P1801

哈夫曼樹

洛谷P1090

每個數貢獻的次數是他到根的邊數。
數大的貢獻較少，即經過的邊數較少。
如果把邊順次標號為 0,1，則每個葉子到根的一個字串稱為哈夫曼編
碼。

Day3

動態規劃

簡單DP

洛谷P1216

1.正著遞推

可以從頂往下推
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];

2.倒著遞推

從下往上推
f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];

揹包DP

給定n個價值為\(V_i\)，體積為\(W_i\)的物品，你有一個容積為M的揹包，求怎樣裝物品才能使價值之和最大。

採藥

洛谷P5664

洛谷P5665

區間DP

洛谷P1430

f[l][r]表示還剩下[l,r]的數，我們先手獲得的最大價值==後手獲得的最大價值
可以直接深搜

Day4

圖論

概念

樹：

無環
連通
U,V之間唯一一條路

有向無環圖（DAG）：

可以進行拓撲排序
可以進行DP
都為二分圖

樹

樹的儲存：

記錄每個點的父親
每個點存他的兒子
當成圖來存

樹的名詞：

子樹
深度
路徑
直徑：距離最大的一對點之間的距離為多少
重心：以一個點為根，左子樹的點和右子樹的相等則稱該點為一棵樹的重心

二叉樹

每個點最多有兩個兒子
二叉樹的先序遍歷為它的DFS順序

完美二叉樹：每個點都有兩個兒子

完全二叉樹：點n的父親為n/2,點的兒子為2n、2n+1

DAG最短/長路

直接BFS即可

序

序：

傳遞性（a>=b,b>=c,a>=c)
自反性(a<=b,b<=a,a=b)
反對稱性(a+b=c,c+b≠a)

正序：所有序都可比較

偏序：不是所有序都可比較，但是滿足序的三個性質

DAG所有點預設都是偏序

二分圖

染色（把一個圖染成黑白兩色，讓著圖邊兩端顏色都不同）：只需BFS一遍即可

Day5

貪心

就是區域性最優解，看哪個最好選哪個

正確性證明：

數學歸納法

例1：

定義一個函式f[i]表示取i個線段，最右端最小是多少

變換過程中最優解不變

例2：

f[i]:1~i時間前有多少教師

g[i]:1~i時間最多的同時講座的數量

h[i]=i時間同時講座的數量

f[0]=0=g[0]

往i區間裡放,f[i-1]=g[i-1]>=h[i-1]

能放得進去,f[i-1]=f[i],g[i-1]=g[i]>h[i]。

∴f[n]=g[n]

2.歸納法

3.交換論證

任何最優解都可以可以變成貪心的最優解，

變換過程中最優解不變

例題：國王遊戲

數學

矩陣

矩陣乘法

省略

矩陣加速遞推

f1=f2=0
\(f_n=7f_{n-1}+6f_{n-2}+5n+4×3^n\)
求\(f_n\)

高斯消元

特點：

兩方程互換，解不變；
一方程乘以非零數 k，解不變；
一方程乘以數 k 加上另一方程，解不變。

例：

\(\begin{cases} 7x_1+8x_2+9x_3=13 \\4x_1+5x_2+6x_3=12 \\x_1+2x_2+3x_3=11 \end{cases}\)

7 8 9==13 → 1 0 04
4 5 6==12 → 0 1 05
1 2 3==11 → 0 0 16

取模（mod)

\(100 \equiv1\mod {9}\)

\(\equiv\)：模運算下的等價

逆元

定義：

假設p是一個質數，且\((a, p)=1\),\(a*b=1(mod p)求b\)
b類似於a的倒數?
也就是說，乘上—個b和除以一個a的效果是一樣的b稱作a的逆元，記作\(b=a^{-1}\)
\(c/a=c*a^{-1}(\mod p)\)

求：

費馬小定理
如果p為質數，且(a,p)=1;
則\(a^{p-1}\equiv(1\mod{9})\)

其他

埃拉託斯特尼篩法

求1~n所有素數
O(nlogn)
從小到大列舉數把他的倍數篩去

卡特蘭數：

1,1,2,5,14

公式：

\(H_n=\begin{pmatrix}2n\\n\\\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2n\\n-1\\\end{pmatrix}\)

只要讓你輸出單個數字的題,暴力程式發現前幾個結果為上面的數列
可以試著直接輸出卡特蘭數。

Day6

分治

分而治之，就是把一個複雜問題分解為多個簡單的子問題來解決
限制為複雜問題要可分

應用：

歸併排序：

基本流程：

sort(l,r);
mid
sort(l,mid);
sort(mid+1,r);
marge(l,mid,r);

逆序對

基本流程：

solve(l,r);
mid
ans+=solve(l,mid);
ans+=solve(mid+1,r);
void solve:
	a    b
	a[i]>b[j]

區間max之和、最大欄位和....

時間複雜度：

最大欄位和：T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(nlogn)

區間max之和：T(n)=2T(n/2)+O(1)

例題：
洛谷P1966

二分

二分查詢

簡介：

一種查詢陣列元素的方法
陣列必須有序
時間複雜度O(log(n))

STL

lower_bound:找到陣列中第一個大於等於x的下標，返回一個地址
upper_bound：用法同lower_bound
binary_search:二分查詢一個元素，返回bool值

板子：洛谷P2249

例題：洛谷P1102

可以使用第一天的雙指標演算法
排序後也可以二分查詢

二分答案

簡介：

對答案進行二分查詢
要有一個明確的（答案）界限，如2 1 3 5 6可以二分(界限為4）

例題：洛谷P1873
洛谷P2440
洛谷P1024
洛谷P2678

while(l<=r){
	ull mid=(r+l)/2;//l+(r-l)/2或l+r>>1
	if(check(mid)){
		l=mid+1;
	}else{
		r=mid-1;
	}
}
cout<<r;

分數規劃

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