[T240805] 設複變函式 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm i~ v(x,y)\) 在區域 \(D\) 內解析, 且 \(f'(z)\neq0~(z\in D)\). 證明 \(u(x,y)=c_1,~v(x,y)=c_2\) (\(c_1,c_2\) 為常數) 是 \(D\) 內兩組正交曲線族.
證：注意到 \(f'(z) = u_x+\mathrm i~v_x\neq0~(z\in D)\), 故 \(u_x,v_x\) 在點 \((x,y)\) 不全為零.
(1) 若在點 \((x,y)\) 上有 \(u_x\neq0\and v_x\neq0\), 則 \(u=c_1\) 的斜率為
\[0=\mathrm du=u_x\mathrm dx+u_y\mathrm dy\Rightarrow \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{u_x}{u_y}:=k_u
\]
同理曲線族 \(v=c_2\) 的斜率為
\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{v_x}{v_y}:=k_v
\]
故在點 \((x,y)\) 處, 有
\[k_u\cdot k_v=\frac{u_x}{u_y}\cdot\frac{v_x}{v_y}\xlongequal{C.-R.}-1.
\]
故倆曲線族正交.
(2) 若在點 \((x,y)\) 上 \(u_x,~v_x\) 只有一個為零, 則由 \(C.-R.\) 方程可知此時過交點的兩條切線必然有一條為水平切線, 一條為鉛直切線, 顯然它們正交. #