「模擬賽」暑期集訓CSP提高模擬10（7.28）

_yuen發表於2024-07-29

\(145pts，Rank 10\)，眾數分。

數學專題模擬賽%%%

總結寫前面：

1. 線性遞推式複雜度過大考慮矩陣快速冪最佳化；

2. T1 長時間切不了就先跳，先把所有題看一遍，拿分為主。

賽時記錄

正常開 T1，期望數學題，大概讀懂了，手模下小樣例，模了一遍又一遍，“我並不認為樣例是對的”，跳了（很正確的決定）。

T2，貌似也只會個 \(25pts\) 暴力，不過看起來挺可做的，先打了暴力，想著能不能找到規律，畢竟 \(n<=10^{18}\)，好吧，並不可以。

T3，又是數學，推式子題，好熟悉的式子，莫比烏斯反演，不會...，\(O(n^2 \log n)\) 可以拿 \(10pts\) 暴力，額...思考，回憶關於莫比烏斯反演以及雙西格瑪後面挪到前面。

不小心發現小孩哥們在打水題比賽，報名了一下，哇，好水，用了兩分鐘切了 T1、T2，爽。誒， IOI 賽制的，看排行榜，E 題還沒人 AC，拿個首 A 我就跑，打表 AC 完發現首 A 被搶了，氣！他們還挺牛，現在就剩 C 題沒人 A 了，看 C 題，牛棚回聲，這我熟悉啊，三分鐘 A 了，發現首 A 又有人搶了！誒，不過怎麼 Rank 1 了，感覺大事不妙，不會被發現吧，溜了溜了。

大概兩分鐘之後，huge:（叫我名）過來。

走過去，看見 Delov 學長在旁邊，芭比Q，猜到是被發現了，被 D 了一頓。然後回來乖乖打比賽坐牢。

打了 T3 暴力，真不會了，開 T4 看看吧，！！不是，原來簽到題放 T4 了，迅速切了，然後由於這一場就會這一題，萬一再掛就祭了，於是打了個暴力跑對拍，十分鐘沒拍到 WA 的點，放心了。

回去看了下小孩哥模擬賽的排行榜，發現自己成績被取消了，重新整理一下，比賽頁面也看不見了。。。

之後就是在 T1 模樣例仍然覺得樣例不對，T2 想各種可能做法，T3 使勁回憶、卡常 之間來回跳，三道題正解都無果，不過 T3 記憶化一下，發現可以最佳化到 \(O(n^2)\)，\(20pts\) 了，再度卡常，把四個 if 判斷換成了三目運算子，（一句話裡面套了五六對括號）。現在 \(145pts\) 了，剩下時間，一直坐牢了？。
我也完結撒花？


B.速度型高松燈 \(25pts\)

矩陣快速冪？，還真不會這個了，矩陣乘？，咋用啊，學過我記得，但學啥了呀。不是，矩陣乘法為啥這樣乘啊......

哎，填坑 ing，看到之前提高組某一塊的專題，好多都忘了，之前挖的坑現在果然還是要親手填。

正解：

易得：\(f_i = 10 ^ k \times f_{i-1} + i\)，很線性的一個遞推式，但 \(n\) 過大，所以考慮拿矩陣快速冪最佳化。有下列矩陣轉移：

\[ \begin{bmatrix} f_i & i+1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10^k & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} f_{i-1} & i & 1 \end{bmatrix} \]

構造矩陣轉移即可。

code：

#include <bits/stdc++.h>
typedef unsigned long long ull;
#define ull __int128
using namespace std;

const int N = 5;

long long n; int m;

struct matrix{
	int H, L; ull a[N][N];

	void zero(){
		memset(a, 0, sizeof a);
	}

	void one(){
		zero();
		for(int i=1; i<=H; i++) a[i][i] = 1;
	}
	
	void resize(int x, int y){
		H = x, L = y;
	}

	matrix operator * (const matrix &A) const{
		matrix res;
		res.zero(); res.resize(H, A.L);

		for(int i=1; i<=3; i++){
			for(int j=1; j<=3; j++){
				for(int k=1; k<=3; k++){
					res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * A.a[k][j] % m) % m;
				}
			}
		}
		return res;
	}
}A;

matrix qpow(matrix X, ull b){
	matrix res;
	res.resize(X.H, X.L); res.one();

	while(b)
	{
		if(b & 1) res = res * X;
		X = X * X;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

ull Mont_Mary(ull x, ull b){
	ull a = x, res = 1;
	while(b)
	{
		if(b & 1) res = res * a;
		a = a * a;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int main(){
	// freopen("in.in", "r", stdin); freopen("out.out", "w", stdout);
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

	cin>>n>>m;

	ull x = n; int cnt = 0;
	while(x) x /= 10, cnt++;

	A.resize(1, 3); A.a[1][2] = A.a[1][3] = 1, A.a[1][1] = 0;

	matrix base; base.resize(3, 3);

	ull num = 9;
	for(int i=0; i<cnt; i++){
		ull k = num / 9 * 10;

		base.one(); base.a[2][1] = base.a[3][2] = 1, base.a[1][1] = k;
		if(i == cnt - 1) break;

		A = A * qpow(base, num);
		num *= 10;
	}

	 A = A * qpow(base, n - Mont_Mary(10, cnt-1) + 1);

	int ans = A.a[1][1];
	cout<<ans;


	return 0;
}

C.力量型高松燈 \(20pts\)

聽說這是學長讓我們學習莫反的把戲，不贊同 但確實有效果

正解：

我並不想寫這個式子過了


D.高松燈 \(100pts\)

水題放最後，差點進坑，本來打到 T3 我可能就要耗死了，還好看了眼 T4。

正解：

兩種情況，一個是數自己，一個是首位數 \(-1\)，其他位全都為 \(9\)。

code：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int n;
int num[20];

signed main(){
    // freopen("in.in", "r", stdin); freopen("out.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

    cin>>n;
    int x = n, cnt = 0, sum = 0;
    while(x)
    {
        num[++cnt] = x % 10;
        sum += num[cnt];
        x /= 10;
    }

    int s = (cnt - 1) * 9 + num[cnt] - 1;
    cout<<max(s, sum);

   
    return 0;
}

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