A gcd
\[\begin{aligned}
& \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n [\gcd(i,j) \in P] \\
=& \sum\limits_{d=1}^n [d \in P] \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n [\gcd(i,j) = d] \\
=& \sum\limits_{d=1}^n [d \in P] \sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} \sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} [\gcd(i,j) = 1] \\
=& \sum\limits_{d=1}^n [d \in P] \times (2 S_\varphi(\lfloor \frac n d \rfloor) - 1) \\
\end{aligned}\]
時間複雜度 \(\Theta(n)\)。
B 完全平方數
洛谷原題 P4318 完全平方數。
C 尤拉函式
簡要題意：給定一個數 \(n\) 的唯一分解 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{q_i}\)，求 \(n \leftarrow \varphi(n)\) 幾次能使 \(n = 1\)。\(p_i \le 10^5, q_i \le 10^9, m \le 2000\)。\(50\) 組資料。
打表找規律，注意到最終總會是 \(2^x\) 在迭代，因此考慮數 \(2\) 的個數。
令 \(f_p\) 為 \(p\) 能貢獻的 \(2\) 的個數。
\(f_2 = 1\)，\(f_p = \sum\limits_{q | (p-1)} f_q\)，其中 \(q\) 為質數，且可以重複。
\(f\) 可以直接線性篩分解質因數得到，時間複雜度 \(O(n \log \log n)\)。（好好線性篩應該能做到線性）
答案即為所有 \(f_p \times q\) 之和。注意如果沒有 \(p=2\) 會多一次。
預處理 \(O(n \log \log n)\)，每組資料 \(\Theta(m)\)。
D LCM
洛谷原題 P1829 [國家集訓隊] Crash的數字表格 / JZPTAB。