ssy中學暑假集訓向量學習筆記(應該能完結)

今天模擬賽T4是個極其噁心的東西，用到了許多高中數學知識，md，引入前置知識。

向量

定義

顧名思義，向量就是有方向的量，在平面直角座標系上可以用\((a,b)\)表示，圖如下：

影像上即為由\(A\)指向\(B\)的一條向量。

投影

投影不好解釋，拿圖吧。

\(AC\)在\(AB\)上的投影就是\(AD\)！！
剛學的時候把\(CD\)當成投影了，wssb。

向量的加減法是符合平行四邊形不等式的，也就是\(\vec{m}(a,b) \pm \vec{n}(c,d) = \vec{p}(x_1 \pm x_2,y1 \pm y_2)\)

這個背一下吧，目前還沒完全理解透徹。

接下來介紹一下如何求投影長度，先給一個圖：

我們要求\(\vec{a'}\)，不難發現我們可以透過求出$ \cos(\theta)$從而求出 \(\vec{a'}\)的長度。
那怎麼求$ \cos(\theta)$呢？我們引入一個點積的概念，就是這個：

\[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= x_1x_2+y_1y_2 \\ &= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \end{aligned} \]

至於為什麼，高中就會學。
那麼就可以得出一個大公式：

\[\begin{aligned} \cos(\theta) &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \\ \ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \end{aligned} \]

這樣就可以求出\(|\vec{a'}|\)的長度了，他就等於:

\[\begin{aligned} |\vec{a'}| &= |\vec{a}| \cdot \cos(\theta) \\ &= \sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \\ &= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}} \end{aligned} \]

蕪湖！！！吃飯！！！
既然講了這麼多關於向量的知識，那我們來做一道例題吧！剛好今天模擬賽就考了這個東西！

About T4:

直接上來就訂正這題啦，因為覺得我剛好不會這個東西，就順便學習一下！

首先我們推出一個性質奧,對於下面這個圖:

對於\(\vec{B}\)和\(\vec{C}\)而言，他們的投影是相等的對吧，所以這兩個向量是"相等的"(這個"相等"的意義很多，可能是長度，可能是.....)。那如果\(\vec{B}\)與\(\vec{C}\)不變，把直線\(AD\)換一下位置，那麼\(\vec{B}\)的投影和\(\vec{c}\)的投影會出現什麼樣的關係呢？如下圖：

顯然，這次\(\vec{B}\)的投影大於\(\vec{C}\)的投影，接下來無論我們如何將直線\(AD\)逆時針旋轉，只要他不超過垂線段那麼\(\vec{B}\)的投影始終大於\(\vec{C}\)的投影，從垂線段順時針旋轉則反之，那麼，只要他不與這條垂線段重合，他的大小關係始終固定。

那麼如何轉換到這個題裡呢？我們先構造一個由所有邊權組成的集合圖，然後對於每兩個直線，我們在他們的區間中隨便選一個邊，拿這個邊對其他所有的邊做一個投影，然後按他們投影長度從大到小排序，求最大生成樹，也就是做一次Kruskal，然後取一個 \(\max\)，求出最大的邊集。