寫在最前
對於形如\(z=f(x,y)\)的函式，求解極值的通法一般有兩種：
- 偏導數法
- 二元全微分法
由於偏導數法操作簡單，下面僅介紹這種方法
二元函式極值點
\(Ops:\)只想知道最值的可以跳過這一節。
我們以駐點為圓心在\(xy\)平面上做一個圓（就如同在一元函式\(y=f(x)\)駐點附近找一段區間），若當半徑足夠小時，\(f(x_0,y_0)\)是該圓形區域的最大值或最小值， 那麼該駐點就是極大值點或極小值點。與一元函式類似，駐點不一點是極值點。
那麼我們如何判斷極點呢？
一個比較常規的想法是，讓\(f_x\)在\(x=x_0\)的兩邊異號，讓\(f_y\)在\(y=y_0\)的兩邊異號，藉此來判斷函式的極值點。但有一個很明顯的錯誤：
類比地理中的鞍部，這個點被稱作鞍點。
那麼，該怎麼做呢，數學家想到了一種方法——二階偏導法。
令
\[A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)
\]
則有
\[A\times C-B^2>0 \text{$\large 且$} A>0==>\text{$\large 極小值$}
\]
\[A\times C-B^2>0 \text{$\large 且$} A<0==>\text{$\large 極大值$}
\]
\[A\times C-B^2<0==>\text{$\large 鞍點$}
\]
\[A\times C-B^2==0 ==>\text{$\large 無法確定$}
\]
二元函式最值
最值問題和極值問題相比，最大的區別就是最值問題可以通過比較各點的值來計算。我們可以通過求出所有極值點甚至非極值點的值來得出最終的答案。既然如此，我們可以求出所有可能的點（各偏導等於零的點）並計算得到最終答案。