密碼學系列之:生日攻擊
簡介
生日攻擊其實是一個概率論的問題，也就是說一個看起來很難發生的事情，事實上它發生的概率卻很大。這種主觀上和事實上的概率差距，讓隨機攻擊成功的機率變的更高，這樣的攻擊就叫做生日攻擊。
生日問題的由來
生日問題也叫做生日悖論，它是這樣這樣描述的。
假如隨機選擇n個人，那麼這個n個人中有兩個人的生日相同的概率是多少。如果要想概率是100%，那麼只需要選擇367個人就夠了。因為只有366個生日日期（包括2月29日）。
如果想要概率達到99.9% ，那麼只需要70個人就夠了。50%的概率只需要23個人。
對於現在的幼兒園小朋友來說，一個班上差不多有30人，那麼將會有大於50%的機率，班上有兩個人的生日是一樣的。
聽起來是不是很神奇？跟我們第一映像中的基數是不是要少很多。
我們看一張概率圖：
在實際應用中，可以應用生日問題中的概率模型，從而減少碰撞攻擊的複雜度，或者來評估一個hash函式中可能出現碰撞攻擊的機率。
怎麼計算呢？
假如P(A) 是生日相同的概率，那麼P(A) = 1 - P(A
一個人生日不同的概率是365/365,兩個人生日不同的概率就是365/365 * 364/365 ,依次類推。
我們可以得到23個人生日不同的概率大概就是 0.492703。
也就是說23個人中有兩個人生日相同的概率可以大於50%。
再看一張表來個更加直觀的描述：
生日問題的衍生
生日問題的取值範圍是在一年的365天之內，也就是說生日只可能有365種可能性。
我們將這個問題擴充套件一下到一般的情況，假設有一個函式f，它的輸出範圍是H，那麼我們的攻擊就是找到兩個不同的x，y，讓f(x)=f(y)。
這時候，我們可以稱x和y發生了碰撞。
根據概率論的公式，我們想要達到50%的機率，那麼需要嘗試的次數是:
如果以bits位來表示可能計算出的結果的話，我們可以參考下面的概率表：
生日攻擊的應用
生日攻擊一般應用在數字簽名中。一般來說為了對機密訊息進行簽名，因為加密的限制，如果訊息很大的情況下，不可能對所有的訊息進行簽名，通常會對訊息計算hash值，然後對這個hash值進行簽名。
比如有人想做一個欺詐性的合同，那麼會在原合同的基礎上進行修改，不斷的進行嘗試，從而找到一個修改後的合同，讓合同和之前合同的hash是一樣的，從而導致兩者的簽名也是一樣的。
怎麼抵禦這種攻擊呢？根據我們生日攻擊的公式，當然是將簽名方案使用的雜湊函式的輸出長度選擇得足夠大，以使生日攻擊在計算上變得不可行。
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