準確詳解：C/C++ float、double資料型別的表示範圍及精度

 

 今天覆習C++遇到了float、double資料型別的表示範圍及精度問題，花費了一些時間重新梳理了一遍，鑑於網上很多文章寫的並不清晰，並且有不少疏漏錯誤之處，特結合個人理解仔細整理如下。

  要弄清楚這個問題，首先要搞清楚浮點數在記憶體中的儲存方式。浮點數，區別於定點數，指的是小數點位不確定的的資料型別，其原理是將一個浮點數a用兩個數m（尾數）和e（指數）來表示：a = m × b^e。其中的b為選取的基數。科學計數法就是一種特殊形式的浮點數。

  在計算機二進位制表示中，浮點數採用2作為基數，規定尾數的範圍為1.0~2.0之間。

 以float型別為例，根據最廣泛採用的IEEE754標準規定，float資料型別長度為32位，其中最高位為符號位，中間8位為指數位，最後23位作為尾數位。

  最高位符號位通過0/1來區分正負，0正1負；指數位則規定採用移碼的形式儲存，這樣可以保證指數部分為無符號數，方便比較大小。移碼錶示法是在數X上增加一個偏移量來定義的，如果機器字長為n，規定偏移量為2^(n-1)，對於8位補碼-128~127，可得到對應的階碼錶示為0~255，其中全0和全1分別用來表示0和無窮大，故規定1~254用來表示規範數字，即對應指數範圍從-126到127；尾數部分統一規定為1.0-2.0之間，最高位必然為1，故可以省略，所以尾數部分從小數點後算起，最小可以取到1，最大則取到二進位制1.1...1(小數點後23位)，即取到2-2^-23，可近似約等於2。故得到float絕對值的最大值取到2^127*(2-2^-23)約等於2^128=3.4E+38。加上符號之後可得float表示範圍為(-3.4E+38)~(3.4E+38)。當然實際是取不到的，開區間。絕對值最小則可以取到2^-127*1，即為1.175E-38。

接下來解釋精度。由於尾數部分位數是固定的小數點後23位，23位所能表示的最大數是2^23−1=8388607，所以十進位制的尾數部分最大數值是8388607，也就是說尾數數值超過這個值之後，float將無法精確表示，所以float最多能表示小於8388607的小數點後7位，但絕對能保證的為6位，也即float的十進位制的精度為為6~7位。

double資料型別的推算過程和上述同理，唯一的區別在於尾數由23位擴充套件到52位，階碼由8位增加到了11位，計算方法不變。所以double的階碼（移碼錶示）為1~2046，偏移量為1023，故指數範圍為-1022~1023，得表示範圍為(2^1023*2)~(-2^1023*2)即為-1.7E+308~1.7E+308，絕對值最小可以取到2^-1022，精度則為2^52-1=4503599627370495，為16位。所以精度最高位16位，一定可以保證15位。