題面
題解
小藍書 + 我自己的補充
做法
題意很好理解吧。
設最小生成樹的邊權之和為 \(sum\)。
我們要找嚴格次小生成樹，就是要找到這樣的一條非最小生成樹上的邊，滿足：
- 將最小生成樹上的某條邊替換成這條邊後，樹依然聯通。
- 這條邊與被替換邊的權值之差最小，且大於 \(0\)。
所以我們進行如下操作：
- 選擇一條非最小生成樹上的邊 \((x,y,z)\)。
- 將它加入樹中，顯然會形成一個環。
- 由 \(Kruskal\) 的證明過程我們可以得到，\(z \geq dis_{x,y}\)。
- 所以我們可以將 \(x\) - \(y\) 路徑上的某條邊替換成邊 \((x,y,z)\) ，顯然樹依然聯通。
- 設\(x\) - \(y\) 路徑上的權值最大邊的邊權為 \(val_1\) ，次大邊的邊權為 \(val_2\) 。
- 根據上述嚴格次小生成樹的找法的定義， 當 \(z > val_1\) 時 ，將 \(val_1\) 的這條邊替換成 \((x,y,z)\) 肯定是最優的，得到候選答案 \(sum - val_1 + z\)。當 \(z = val_1\) 時，將 \(val_2\) 替換成 \((x,y,z)\) 肯定是最優的，因為 \(val_1\) 所在的邊不能被替換，得到候選答案 \(sum - val_2 + z\)。
- 對所有的非樹邊執行上述操作，記錄最小的範圍值，得到最終答案。
優化
顯然每次暴查 \(val_1,val_2\) 明顯會炸。
所以我們可以運用倍增的思想預處理出點 \(x\) 向上跳 \(2^k\) 次的路徑中的 \(val_1\) 和 \(val_2\)。
做法類似與 \(lca\) 倍增做法時維護祖先的做法，這到題我們在找 \(x\) - \(y\) 的路徑時也需要 \(lca\) ，所以這兩個我們也需要維護出來。
設 \(g[x][k][0/1]\) 表示點 \(x\)，向上跳 \(2^k\) 次的路徑中的 \(val_1\) 和 \(val_2\)。
- 初始化：
\[g[x][0][0] = w_{x,fa_x},g[x][0][1] = -INF(設為負無窮不為影響到其它值的維護)
\]
- 設 \(Fa 表示 x的2^{k - 1}輩祖先\)
\[g[x][k][0] = max(g[x][k - 1][0],g[][k - 1][0] )
\]
\[g[x][k][1] = \left\{ \begin{array}{lcl}
max(g[x][k - 1][1],g[Fa][k - 1][1])\ (g[x][k - 1][0] = g[Fa][k -1][0]) \\
max(g[x][k - 1][0],g[Fa][k - 1][1])\ (g[x][k - 1][0] < g[Fa][k -1][0]) \\
max(g[x][k - 1][1],g[Fa][k - 1][0])\ (g[x][k - 1][0] > g[Fa][k -1][0]) \\
\end{array} \right\}\]
轉移過程應該很好想，最大值相等從次小值裡找最小值，一個更大，從小的最大和大的次小裡找次小值。
注意要開 \(long\ long\)
程式碼
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 3e5 + 5;
const LL INF = 1e16;
int n,m,f[N][18],t;
LL ans = 0,g[N][18][2],res = INF;
struct E {
int from,to,w; bool is;
E () {
is = false;
}
bool operator < (const E & x) const {
return w < x.w;
}
}e[M];
struct edge {
int head[N],next[M],to[M],w[M],size;
inline void add(int u,int v,int W) {
next[++size] = head[u]; w[size] = W;
to[size] = v; head[u] = size;
next[++size] = head[v]; w[size] = W;
to[size] = u; head[v] = size;
}
inline LL Get_val_2(int y,int j) {
int Fa = f[y][j - 1]; LL Ans;
if(g[y][j - 1][0] == g[Fa][j - 1][0])
Ans = max(g[y][j - 1][1],g[Fa][j - 1][1]);
else if(g[y][j - 1][0] < g[Fa][j - 1][0])
Ans = max(g[y][j - 1][0],g[Fa][j - 1][1]);
else Ans = max(g[y][j - 1][1],g[Fa][j - 1][0]);
return Ans;
}
queue<int> q; int dep[N]; LL dis[N];
void bfs(int s) {
q.push(s); dep[s] = 1;
while(!q.empty()) {
int x = q.front(); q.pop();
for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
int y = to[i];
if(dep[y]) continue;
dep[y] = dep[x] + 1;
dis[y] = dis[x] + w[i];
f[y][0] = x;
g[y][0][0] = w[i]; g[y][0][1] = -INF;
for(int j = 1; j <= t; j++) {
f[y][j] = f[f[y][j - 1]][j - 1];
g[y][j][0] = max(g[y][j - 1][0],g[f[y][j - 1]][j - 1][0]);
g[y][j][1] = max(g[y][j][1],Get_val_2(y,j));
}
q.push(y);
}
}
}
inline LL Get(int x,int y,int w) {
if(dep[x] > dep[y]) swap(x,y);
LL val_1 = 0,val_2 = 0;
for(int i = t; i >= 0; i--)
if(dep[f[y][i]] >= dep[x]) {
val_1 = max(val_1,g[y][i][0]);
if(i > 0) val_2 = max(val_2,Get_val_2(y,i));
y = f[y][i];
}
if(x == y) {
if(w > val_1) return ans - val_1 + w;
if(w == val_1) return ans - val_2 + w;
}
for(int i = t; i >= 0; i--)
if(f[x][i] != f[y][i]) {
val_1 = max(val_1,g[y][i][0]);
if(i > 0) val_2 = max(val_2,Get_val_2(y,i));
val_1 = max(val_1,g[x][i][0]);
if(i > 0) val_2 = max(val_2,Get_val_2(x,i));
x = f[x][i],y = f[y][i];
}
val_1 = max(val_1,g[x][0][0]);
val_1 = max(val_1,g[y][0][0]);
val_2 = max(val_2,max(g[x][0][0],g[y][0][0]));
if(w > val_1) return ans - val_1 + w;
if(w == val_1) return ans - val_2 + w;
}
}a;
int fa[N];
inline int Find(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]);
}
inline int read() {
int x = 0,flag = 1;
char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')flag = -1;ch = getchar();}
while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;ch = getchar();}
return x * flag;
}
int main() {
n = read(),m = read();
t = log(1.0 * n) / log(2.0);
for(int i = 1; i <= m; i++) {
e[i].from = read();
e[i].to = read();
e[i].w = read();
}
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
sort(e + 1,e + 1 + m); a.size = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int x = Find(e[i].from);
int y = Find(e[i].to);
if(x == y) continue;
fa[x] = y; ans += e[i].w;
a.add(e[i].from,e[i].to,e[i].w); e[i].is = true;
}
a.bfs(1);
for(int i = 1; i <= m; i++) {
if(e[i].is) continue;
res = min(res,a.Get(e[i].from,e[i].to,e[i].w));
}
printf("%lld\n",res);
return 0;
}