數學家竟然藉助神經網路求解世界上最難的方程式？

這是來自 quantamagazine的一篇報導，當前使用人工智慧的深度神經網路求解數學中偏微分方程的整個族，從而使得數學對複雜系統的建模更加容易，並且速度更快。

很難求解的方程式

高中物理學中，我們通過作用在某個質量物體上的單個力（例如重力）的簡單示例，瞭解牛頓的第二運動定律：力等於質量乘以加速度。在唯一的獨立變數是時間的理想情況下，第二定律實際上是一個“常微分方程”，通過求解該定律，可以隨時計算物件的位置或速度。

但是在更復雜的情況下，隨著時間的流逝，多種力作用於複雜系統的許多運動部件上。為了模擬客機在空中飛行，在地球上的地震波或疾病在人群中的傳播，包括基本力和粒子的相互作用，工程師，科學家和數學家訴諸於“偏微分方程”。 （PDE）可以描述涉及許多獨立變數的複雜現象。

問題在於，偏微分方程式（如在科學和工程學中一樣必不可少和普遍存在）很難計算，這是眾所周知的。可以使用近似方法來解決它們，但是即使那樣，仍可能需要數百萬個CPU小時才能整理出複雜的PDE。隨著我們所解決的問題變得越來越複雜，從設計更好的火箭發動機到模擬氣候變化，我們將需要更好，更有效的方法來解決這些問題。

深層神經網路來幫忙

70多年前，處於人工智慧研究前沿的研究人員引入了神經網路，這是一種思考大腦工作方式的革命性方法。在人腦中，數十億個連線的神經元網路可以感知資料，使我們能夠從經驗中學習。人工神經網路還可以按照自己教給自己的規則，通過連線的層過濾大量資料，以進行預測和識別模式。（banq：神經網路是對大腦神經元運作的模擬模擬）

現在，研究人員已經建立了新型的人工神經網路，可以比傳統的PDE求解器更快地近似偏微分方程的解。並且經過培訓後，新的神經網路不僅可以解決單個PDE，而且可以解決整個PDE族，而無需重新訓練。

研究人員使用相關資料訓練他們的神經網路，以學習這些輸入和輸出之間的相關性。訓練包括為網路提供輸入，並讓其產生一些輸出，然後將其與預期輸出進行比較。然後，演算法會調整神經元的權重，以最大程度地減少生成的輸出和預期輸出之間的差異。重複此過程，直到網路在某個可接受的錯誤限制內可靠地使它正確為止。一旦經過訓練，就可以向網路顯示一個新的輸入，並且很可能會產生正確的輸出。

同時，科學家們正在將深度神經網路-人工智慧的現代帶入這個領域。

深層神經網路的基本元素是人工神經元，它接收一組輸入，將每個輸入乘以權重，然後將結果相加，然後，神經元基於該總數確定輸出，例如，如果總和低於某個閾值，則為零，否則為總和。現代的神經網路具有一個輸入層，一個輸出層和至少一個夾在它們之間的“隱藏”層。僅具有一個隱藏層的網路通俗地稱為“淺”網路。否則，它們被稱為深度神經網路。

通常的神經網路是將資料從一個有限維空間（例如，影像的畫素值）對映或轉換為另一個有限維空間（例如，對影像進行分類的數字，例如1代表貓，2代表狗） 。但是，新的深層網路所做的事情卻大不相同，它們在無限維空間和無限維空間之間對映。

毫無疑問，這樣的技術將加速涉及PDE的許多模型求解。最終目標是替換非常慢的非常昂貴的傳統求解器。 

加州理工學院的Anima Anandkumar（左）和普渡大學的Kamyar Azizzadenesheli建立了一個稱為傅立葉神經運算元的神經網路，該網路可以有效地學習一次求解整個PDE族的過程。

更多點選標題！ 

banq評：神經網路本質上是一種對複雜系統的模擬人類大腦執行的模擬方式，現在可以藉助這種模擬模擬模型來求解數學上方程式，是不是主導精確確定性數學到了盡頭？也需要藉助中醫脈絡這樣模擬”練金術“來求解？總之，科學探索無禁忌，沒有這個是科學，那個不是科學的武斷教條主義。

神經網路求解數學公式難題在於兩者不相容，數學是追求確定性結果，而神經網路是概率計算，能夠識別模式，巴黎的Facebook AI研究小組工作的方法不是讓神經網路求解逼近數字運算或數值，相反，他們發揮了神經網路的優勢，根據實際解決的問題（語言翻譯）重新定義了數學問題。有興趣瞭解這裡