怎樣理解控制系統中的頻寬

0. 寫在前面

在控制系統的穩定性與動態特性分析中，總少不了“頻寬”這個量，本文嘗試從頻寬的定義，對系統動態特性的影響及其與系統穩定性之間的相關關係進行介紹。由於作者非控制專業科班，在表述中可能出現不專業的名詞，如有錯誤還請指出便於改正。

1. 頻寬的定義

“頻寬”是一個非常寬泛的概念，在通訊，控制以及訊號處理中都常出現。而本文針對控制系統中頻寬相關內容進行討論，希望為讀者提供一個理解頻寬概念的參考內容。

從巨集觀的角度上來說，線上性定常系統（LTI）中，假定一個單輸入單輸出系統，對任意輸入的激勵，必然有相對應的輸出響應。從頻域的角度來說，如果我們知道激勵訊號從0 Hz開始到\(\infty\)時，系統輸出的響應，那麼我們就得到了該系統的頻域特性，可以據此描繪輸出與輸入訊號的幅值與相角之間的關係也即可以用Bode圖來表示該系統的特性。

而對於控制系統而言，跟隨給定，抵抗擾動就是其目標。通常以系統某個或多個變數的反饋形成閉環來實現該目標。在這個過程中，就有了所謂“開環傳遞函式”與“閉環傳遞函式”兩個概念。這裡的開環傳遞函式為\(G(s)H(s)\)，而閉環傳遞函式為\(G(s)/(1+G(s)H(s))\)。對於開環傳遞函式，一般以開環截止頻率（開環幅頻特性曲線穿越0 dB線的頻率，常記為\(\omega_{c}\)）描述其特性，而閉環傳遞函式以閉環頻寬（閉環幅頻特性中幅值相比0 Hz頻率下降3 dB的頻率，常記為\(\omega_{b}\)）分析其特性。當然，這裡閉環頻寬為什麼以幅值下降3 dB作為度量，這時其幅值為原訊號的\(\sqrt{2}/2\)，從能量上衰減了1/2，可能這就是原因。

雖然開環截止頻率與閉環截止頻率（閉環頻寬）是兩個不同的物理量，但在控制系統分析中，常採用開環傳函分析閉環特性，因此二者實際存在一定的相關關係。開環截止頻率與單位負反饋的閉環頻寬具有同向性，也就是二者是同向增大的，並且有\(\omega_{b}>\omega_{c}\)。

以一個二階開環系統\(G_{ol}\)為例進行分析，其單位負反饋閉環傳遞函式為\(G_{cl}\)，傳遞函式示例為：

\[\begin{aligned} & G_{ol}(s)=\cfrac{\omega_{n}^2}{s(s+2\zeta \omega_{n})} \\ & G_{cl}(s)=\cfrac{\omega_{n}^2}{s^2+2\zeta \omega_{n}+\omega_{n}^2} \end{aligned} \]

對於該典型系統的開環截止頻率和閉環頻寬的計算，可以求解滿足下式的頻率：

\[|G_{ol}(j\omega)|=|\cfrac{\omega_{n}^2}{(j\omega)(j\omega+2 \zeta \omega_{n})}|=1 \\|G_{cl}(j\omega)|=|\cfrac{\omega_{n}^2}{-\omega^2+2\zeta \omega_{n}j\omega+\omega_{n}^2}|=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \]

求解結果為：

\[\begin{aligned}& \omega_{c}=\omega_{n}\sqrt{(\sqrt{4\zeta^4+1}-2\zeta^2)} \\&\omega_{b}=\omega_{n}\sqrt{(1-2\zeta^2)+\sqrt{2-4\zeta^2+4\zeta^4}}\end{aligned} \]

給出閉環頻寬與開環截止頻率比值隨\(\zeta\)變化的曲線為：

很明顯，在\(\zeta\)從0.2變化到1.4的過程中，閉環頻寬始終大於開環截止頻率。

下面通過一個示例進一步說明。

\[\begin{aligned}& \omega_{n}=3000; \\&\zeta=0.707;\end{aligned} \]

畫出其bode圖為

從閉環特性曲線上可以看到，對於該系統，在頻率小於閉環頻寬\(\omega_{b}\)的時候，幅頻曲線的幅值為0 dB，也就是增益為，由此知道參考訊號通過該系統後幅值將不會發生變化。而相頻特性曲線中，隨著頻率的增加相角不斷下降，也就是對應頻率的訊號會有滯後的效應。

2. 頻寬對系統動態特性的影響

根據前節的內容，在閉環系統頻寬頻率內，輸出訊號可以很好的跟隨輸出訊號，而當輸入訊號頻率超出頻寬頻率後，其幅值將會被衰減。

我們以如下訊號作為輸入：

\[f(t)=sin(1500t)+sin(30000t) \]

經過閉環系統後，輸出訊號如圖中藍色曲線所示。可以很明顯的看出，輸出訊號中，主要分量為\(sin(1500t)\)對應的頻率，並且由一定的相位移，而\(sin(30000t)\)對應的訊號基本已經被衰減，分量大大減小。

由此我們可以驗證前節的結論，閉環頻寬頻率內的訊號可以很好地跟隨，但可能存在相位移，而頻寬外的訊號將會被衰減。上面的例子是針對兩個訊號疊加的情況，當輸入訊號為階躍時，輸出響應又會如何。實際上，對於階躍訊號，在頻域內各個頻率均有分量，且其幅值隨著頻率的增加而下降。這時，階躍響應可以體現系統對給定訊號的跟隨特性。

在我們改變閉環系統\(G_{cl}\)的\(\omega_{n}\)後，系統的階躍響應如圖所示：

從圖中可以看到，隨著\(\omega_{n}\)的增加，系統的階躍響應輸出就越快達到穩定。對於二階系統而言，\(\omega_{n}\)越大則系統閉環頻寬越大。因此，還可以初步得到結論：頻寬越大，能夠復現的輸入訊號範圍就越寬，系統響應速度就越快。

然而，系統頻寬並非越高越好，控制系統在穩態情況下控制物件頻率通常固定，而系統噪聲不可避免，在頻寬過大的情況下，系統對噪聲的響應也比較明顯，這會使輸出中摻雜不需要的訊號而影響系統的輸出質量。因此，在控制系統的設計中，系統的動態特性與抗擾效能通常需要進行折中選擇。

3. 閉環頻寬與系統穩定性之間的關係

除了高頻噪聲與動態響應對頻寬的折中限制以外，系統穩定性同樣與閉環頻寬之間有著一定的聯絡。通常利用開環傳遞函式分析閉環系統的穩定性。要保證閉環系統的穩定，要求開環傳遞函式具有一定的相角裕度與幅值裕度。

然而，在數字控制系統中，由於各種慣性環節以及純延時環節的存在，相頻曲線不斷被拉低，系統開環傳遞函式的相頻曲線可能存在對-180°線的穿越。那麼要保證系統的穩定性，必須要求開環傳遞函式的幅頻曲線在穿越-180°線時已經小於0。這就限制了開環截止頻率的大小，由於開環截止頻率與閉環頻寬之間的正向相關性，閉環頻寬從而受到限制。因此，綜合動態響應，高頻噪聲以及系統穩定性等因素，要想滿足期望的系統，常需要新增額外控制器對系統進行改造。

在基於PWM控制的應用場合，低開關頻率下系統延時通常都較大，因此閉環頻寬都較低。為了提高動態特性，通常可以利用相角超前的補償器進行改造，可以使用的有非理想PD控制器，Smith預估補償器，巴特worth濾波器等，在保證系統穩定性的前提下進行相角補償，提高頻寬。

參考資料：

1.控制研究中的頻寬如何理解 https://www.zhihu.com/question/40756707/answer/91671022

2.控制系統中頻寬的理解 https://blog.csdn.net/qq_39554681/article/details/89364178

3.如何入門自動控制理論 https://zhuanlan.zhihu.com/p/42615269