模板攻擊

火腿燒豆腐發表於2021-04-04

模板攻擊是一種強大的側通道攻擊。它是“建模類”攻擊(profiling attack)的一種，所謂建模類攻擊，是指攻擊者會在目標裝置的同型別裝置或者其複製品上建立一個"profile"，隨後利用這一"profile"快速恢復目標裝置的金鑰。

相較於CPA，模板攻擊對攻擊者的要求更高。攻擊者需要對目標裝置的複製品具有完全的控制權，並且進行大量的前期工作以建立模板，不過，一旦模板建立，攻擊者能夠以很小的代價完成攻擊。在模板足夠好的情況下（如建模所用的能量跡數量足夠大），攻擊者僅需一條能量跡即可恢復金鑰。（下文中以“曲線”一詞替代“能量跡”）

模板攻擊分為以下四步：

  1. 利用一個可以完全控制的目標裝置的複製品，使用不同的輸入（明文和金鑰）進行計算並採集曲線，確保採集的曲線足夠提供給攻擊者每一種金鑰猜測對應的資訊
  2. 建立模板，模板是一種POIs(points of interest)的多元分佈
  3. 在目標裝置上，使用少量的不同明文加密獲取相應的曲線（目標裝置的金鑰不受攻擊者控制）
  4. 利用模板進行攻擊，找到最可能正確的金鑰猜測值

本文譯自http://wiki.newae.com/Template_Attacks

訊號、噪聲和統計學

開始討論模板攻擊的細節前，理解其涉及的統計學概念是非常重要的。所謂模板就是一種描述曲線上關鍵點的多元分佈。這一部分就是介紹何為多元分佈以及它是如何在側通道這一背景下使用的。

噪聲分佈

電訊號是內在的噪聲。無論何時我們進行電壓測量，我們都不會看到一個完美、恆定的結果。例如，如果我們把萬用表接到一個5V的電源上並進行4次測量，得到的結果更可能是類似於(4.95、5.01、5.06、4.98)這樣，可以考慮用如下方式對這一電壓建模:

\[\boldsymbol{X} = X_{actual}+\boldsymbol{N} \]

其中，\(X_{actual}\)代表無噪聲的電壓測量，\(\boldsymbol{N}\)代表額外的噪聲。在上面的例子中，\(X_{actual}\)為5V。\(\boldsymbol{N}\)為隨機變數，每次測量的結果都不同。注：\(\boldsymbol{N}、\boldsymbol{X}\)加粗表示它們是隨機變數。

高斯分佈(即正態分佈)是一種可以用來描述這些隨機變數的模型。高斯分佈的概率密度函式(PDF)是：

\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} \]

其中, \(\mu\)表示平均值、\(\sigma\)表示標準差。如在上面的例子中，如果均值為5，標準差為0.5，那麼它對應的概率密度函式為

Normal-Dist.png

我們可以利用概率密度函式來評估一個測量值出現的可能性，如：

f(5.1) \approx 0.7821

f(7.0) \approx 0.0003

由此可見，測量結果為7V的概率是極小的。我們將這一特點應用在模板攻擊中，如果某一個金鑰猜測對應的概率密度值較小，那它極有可能是錯誤的。

多元統計

上面的例子告訴我們，對於一個值的測量來講一元高斯分佈能夠有很好的表現，但如果我們需要同時處理多個隨機變數呢？

假設我們正在測量兩個夾雜著噪聲的電壓源，記為\(\boldsymbol{X}、 \boldsymbol{Y}\)，其中，\(\boldsymbol{X}\)符合正態分佈，\(\boldsymbol{Y}\)符合另一種分佈。然而，這不一定是有效的。如果二者遵循不同的分佈，，那我們則認為這二者是獨立的，即當\(\boldsymbol{X}\)發生變化時，\(\boldsymbol{Y}\)不一定會隨之變化。

多元分佈能夠幫助我們對相關或不相關的多個隨機變數進行建模。在多元分佈中，不再使用方差，而是使用一個協方差矩陣。例如，對三個隨機變數(\(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\))建模，該協方差矩陣為：

協方差

相應地，這種分佈要求每一個隨機變數都有一個平均值：

平均值

多元分佈的概率密度函式要更復雜一些：不再使用單個數作為引數，而是使用一個包含全部變數的向量\(\boldsymbol{x}=[x, y, z,...]^T\)。k個隨機變數的概率密度函式為：

多元分佈概率密度函式

如果覺得這個公式太複雜了，不用擔心，python中的scipy科學計算包已經給我們提供了底層的實現。上一部分中我們將單個值輸入概率密度函式得到了對應的測量出現的可能性。換句話說，只要將曲線上的點(POIs)放入\(\boldsymbol{x}\)中進行計算，那麼\(f(x)\)就能告訴我們這一金鑰猜測正確的可能性了。

建立模板

模板是多個概率分佈的集合，每個概率分佈描述了一個金鑰可能對應的曲線的樣子。也可以這麼說：“如果你使用了金鑰\(k\)，那麼你的能量曲線會符合\(f_k(\boldsymbol{x})\)。”利用這一性質，我們就可以區分能量曲線之間的細微不同，並作出準確的金鑰猜測。

曲線數量

模板攻擊的一大缺點就在於在開始攻擊前攻擊者需要收集大量的曲線用於建模階段。這是因為要對每一個可能的金鑰都能得到一個好的模型，就需要對每個可能的金鑰都收集足夠多的曲線用以建模。例如，如果要攻擊AES-128的子金鑰（一次S盒操作用到的一個位元組），就需要對0-255這256個可能的值分別建模。所以，往往我們需要上萬的曲線才能在建模階段有一個好的結果。

當然，如果我們不對每個可能的金鑰值建模，而是對金鑰的漢明重量建模，同樣在AES-128的情況下，只需要0-8共9個模型即可，需要的曲線數量大大減少。不過，這樣做缺點也很明顯，不再能使用單條曲線即可恢復金鑰，還需要一些其他的資訊。

Points of Interest

我們的目標是建立多元概率分佈來描述每一個可能的金鑰對應的曲線。如果我們用這種方式對整個曲線(如有3000個點)建模，那麼就需要一個3000維的分佈。這是很誇張的，所以我們需要一種更好的方式來替代它。好訊息是，並不是曲線上的每一個點對我們都有用，原因如下：

  • 每個時鐘週期可能會取樣多次。因此我們可以從一個適當的點獲取大量的資訊而無需處理曲線上所有的點
  • 私鑰不一定會影響整條曲線，它可能隻影響曲線的一些關鍵部位。找出這些部位，我們就可以捨棄掉無關的點

這兩點意味著我們可以從曲線中選擇最重要的3-5個點作為POIs(points of interest)，如果我們可以選出這些點，那麼就可以使用一個3維到5維的分佈來描述曲線，相較於3000維這是一個非常大的提升。

如何選擇POIs

有很多種選擇POIs的方法，主要目標是找到在運算元不同(不同的金鑰或漢明重量)的曲線上差異較大的點。這裡介紹最簡單的方法--差值求和。

  • 對於每一個運算元\(k\)對應的曲線上的第\(i\)個點求平均值\(M_{k,i}\)，例如當我們採集到使用金鑰\(k\)進行加密的\(T_k\)條曲線後，就會有\(M_{k,i} = \frac{1}{T_k}\sum_{j=1}^{T_k}{t_{j,i}}\)
  • 求得每個\(k\)的均值後，兩兩作差，並對這些差值求和。這將會得到一條有尖峰的曲線（如下圖），尖峰處即為上面提到的差異大的點。計算方式為\(D_i = \sum_{k_1, k_2} |M_{k_1, i}, M_{k_2, i}|\)

Template-Sum-Of-Difference.png

  • 尖峰位置即為重要的點，但考慮到上一部分中的第一條，相鄰很近的尖峰我們需要捨棄一部分。下面這個演算法可以幫我們選擇最終的POIs：
    • 選擇最高的尖峰，並將其索引選為一個POI
    • 捨棄最近的N個點(N為POIs之間的最小距離)
    • 重複前面兩個步驟直至選取足夠的POIs

分析資料

假設我們已經確定了I個POIs，記為\(s_i,(0<=i<I)\)。那麼我們下面的任務就是為每一個候選的子金鑰或者中間值的漢明權重求得一個均值和一個協方差矩陣，設共有K個候選項。

對一個單獨的候選項\(k\)而言，步驟如下：

  • 獲取\(k\)對應的所有曲線，共\(T_k\)條，則\(t_{j，s_i}\)表示第\(j\)條曲線第\(s_i\) 個POI的值

  • 計算每個POI的值的均值\(\mu_i\)

    \[\mu_i = \frac{1}{T_k}\sum_{j=1}^{T_k}t_{j, s_i} \]

  • 計算每個POI的值的方差\(v_i\)

    \[v_i = \frac{1}{T_k}\sum_{j=1}^{T_k}(t_{j, s_i}-\mu_i)^2 \]

  • 計算每一個POI點對(\(i、i^*\))的協方差\(c_{i,i^*}\)

    \[c_{i,i^*}=\frac{1}{T_k}\sum_{j=1}^{T_k}(t_{j, s_i}-\mu_i)(t_{j,s_i^*}-\mu_i^*) \]

  • 得到均值向量和協方差矩陣

對每個\(k\)都執行一遍上述操作，我們就完成了對\(K\)個候選者的建模工作

使用模板

建模完成後，就可以開始進行攻擊了。完成攻擊需要若干條曲線，設該值為\(A\)，那麼\(a_{j,s_i}，（1<=j<=A）\)就表示第\(j\)條曲線的第\(i\)個POI的值。

應用模板

首先我們嘗試將上一節中建立的模板應用在單條曲線上，目標是得到所有金鑰猜測的可能性。

  • 將POIs的值放入向量，得到
  • 計算每個金鑰猜測的概率密度函式(PDF)：\(p_{k,j} = f_k(a_j)\)
  • 對每一條曲線重複上述步驟

這部分操作得到一系列的\(p_{k,j}\)，代表第\(j\)條曲線表示的候選者是\(k\)的概率

組合結果

最後一步就是根據所有的\(p_{k,j}\)判斷哪個金鑰猜測更可能是最終的答案。最簡單的方法就是：

\[P_k = \prod_{j=1}^Ap_{k,j} \]

例如，如果我們的一個金鑰猜測為0x00，並且三條曲線對應的概率密度為(0.9, 0.95, 0.8)，那麼計算結果會是0.684。只要有一條曲線不符合模板，就會使得最終值迅速下降，這非常有助於我們消除錯誤選項。最終，我們選擇\(P_k\)值最高的\(k\)作為攻擊結果。

這種將每條曲線的結果直接組合起來的方法容易出現精度問題。將很多數相乘後，最終得到的結果可能超出了浮點數的表示範圍，造成精度問題。一個非常簡單的解決方法就是使用對數。使用如下方法：

\[\log{P_k} = \sum_{j=1}^{A}\log{p_{k,j}} \]

代替直接計算\(P_k\)，使用對數結果即可作出正確且不存在精度問題的結論。

相關文章