『筆記』2-SAT

Frather發表於2021-03-07
筆記

前置

\(SAT\) 是適定性（ \(Satisfiability\) ）問題的簡稱。一般形式為 \(k \ -\) 適定性問題，簡稱 \(k-SAT\) 。而當 \(k>2\) 時該問題為 \(NP\) 完全的。所以我們只研究 \(k=2\) 的情況。

定義

\(2-SAT\) ，簡單的說就是給出 \(n\) 個集合，每個集合有兩個元素，已知若干個 \(<a,b>\) ，表示 \(a\) 與 \(b\) 矛盾（其中 \(a\) 與 \(b\) 屬於不同的集合）。然後從每個集合選擇一個元素，判斷能否一共選 \(n\) 個兩兩不矛盾的元素。顯然可能有多種選擇方案，一般題中只需要求出一種即可。

有學長者雲：

有 \(n\) 個 \(01\) 變數 \(x_1∼x_n\)，另有 \(m\) 個變數取值需要滿足的限制。

每個限制是一個 $$ 元組 \((x_{p1},x_{p2},\dots,x_{pk})\) ，滿足 \(x_{p1} \oplus x_{p2} \oplus \dots \oplus x_{pk} = a\) 。其中 \(a\) 是 \(0/1\) ，\(\oplus\) 是某種二元 \(bool\) 運算。

要求構造一種滿足所有限制的變數的賦值方案。

\(2-SAT\) 問題是通過建立圖論模型，在 \(O(n+m)\) 的時間複雜度內判斷是否有解，若有解可以構造出一組合法解。

思路

值得注意的是在不同的題目中二元 \(bool\) 運算可能有差異，但是建圖的基本思路大致相同。

來觀摩一組 OI-Wiki 的例子：

比如邀請人來吃喜酒，夫妻二人必須去一個，然而某些人之間有矛盾（比如 \(A\) 先生與 \(B\) 女士有矛盾， \(C\) 女士不想和 \(D\) 先生在一起），那麼我們要確定能否避免來人之間沒有矛盾，有時需要方案。這是一類生活中常見的問題。

使用布林方程表示上述問題。設 \(a\) 表示 \(A\) 先生去參加，那麼 \(B\) 女士就不能參加（ \(\lnot a\)）； \(b\) 表示 C 女士參加，那麼 \(\lnot b\) 也一定成立（ \(D\) 先生不參加）。總結一下，即 \((a \lor b)\) （變數 \(a\) ， \(b\) 至少滿足一個）。對這些變數關係建有向圖，則有：\(\lnot a \Rightarrow b \land \lnot b \Rightarrow a\) （ \(a\) 不成立則 \(b\) 一定成立；同理，\(b\) 不成立則 \(a\) 一定成立）。建圖之後，我們就可以使用縮點演算法來求解 \(2-SAT\) 問題了。

核心

Tarjan 縮點大法

\(Tarjan\) 大法好！

主要還是考慮如何更合適地建圖。

再來一組例子：

假設有 \(a_1\) 、 \(b_2\) 和 \(a_2\) 、 \(b_1\) 兩對，已知 \(a_1\) 和 \(b_2\) 間有矛盾，於是為了方案自洽，由於兩者中必須選一個，所以我們就要拉兩條有向邊 \((a_1,b_1)\) 和 \((b_2,a_2)\) 表示選了 \(a_1\) 則必須選 \(b_1\) ，選了 \(b_2\) 則必須選 \(a_2\) 才能夠自洽。

然後通過這樣建邊再跑一遍 \(Tarjan\) 判斷是否有一個集合中的兩個元素在同一個強連通分量中，若有則不可能，否則輸出方案。構造方案只需要把幾個不矛盾的強連通分量拼起來就好了。

  • 輸出方案時可以通過變數在圖中的拓撲序確定該變數的取值。如果變數 \(\lnot x\) 的拓撲序在 \(x\) 之後，那麼取 \(x\) 值為真。應用到 \(Tarjan\) 演算法的縮點，即 \(x\) 所在強連通分量編號在 \(\lnot x\) 之前時，取 \(x\) 為真。因為 \(Tarjan\) 演算法求強連通分量時使用了棧，所以 \(Tarjan\) 求得的強連通分量編號相當於反拓撲序。

  • 時間複雜度為 \(O(n+m)\) 。

暴力DFS

\(Tarjan\) 好？ \(DFS\) 表示不服。

\(DFS\) 大法妙！

直接選取圖上一個點，沿著一條路徑搜下去，如果一個點被選擇了，那麼這條路徑以後的點都將被選擇。

如果出現一個集合中的兩者都被選擇了，那麼此即為矛盾情況。

例題

P4782 【模板】2-SAT 問題

真·模板題

思路

  • 這是一道模板題。

  • 顯而易見每個變數 \(x_i\) 都可以被分開儲存，即拆分成 \(i\) 和 \(i+n\) ，分別表示 \(x_i=1\) 和 \(x_i=0\) ，則這兩個事件是互斥的。

  • 對於限制 \(x_i\) 的每個命題 \(a\) 和 \(b\) ，一定有一個為真，則可以寫成

\[\lnot a \Rightarrow b \\ \lnot b \Rightarrow a \]

那麼由此可連邊建圖 \((\lnot a,b)\) ， \((\lnot b,a)\) 。

  • 在該圖中，若節點 \(i\) 與 \(i+n\) 在同一個強連通分量中，即允許互相到達，則它們分別代表的互斥事件會同時發生，說明存在矛盾，即不存在一組合法的方案。

  • 否則則有解。

  • 構造合法解：

    • 對原圖縮點得到一張 \(DAG\) 。

    • 對於變數 \(x_i\)，考察節點 \(i\) 與 \(i+n\) 所在強連通分量的拓撲關係。若兩分量不連通，則 \(xi\) 可取任意一個值。否則只能取屬於拓撲序較大的分量的值。因為若取拓撲序較小的值，可以根據邏輯關係推出取另一個值也是同時發生的。

      by @LuckyBlock

  • \(Tarjan\) 演算法賦給強連通分量的編號順序與拓撲序是相反的，上文已有說明。

CODE

/*

Name: P4782 【模板】2-SAT 問題

By Frather_

*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
/*=========================================快讀*/
int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
    {
        if (c == '-')
            f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9')
    {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return x * f;
}
/*=====================================定義變數*/
int n, m;

const int _ = 5000050;

struct edge
{
    int to;
    int nxt;
} e[_];
int cnt, head[_];

int dfn[_], low[_], num;
int bel[_], b_num;

stack<int> s;
/*===================================自定義函式*/
void add(int from, int to)
{
    e[++cnt].to = to;
    e[cnt].nxt = head[from];
    head[from] = cnt;
}

void Tarjan(int u_)
{
    dfn[u_] = low[u_] = ++num;
    s.push(u_);
    for (int i = head[u_]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int v_ = e[i].to;
        if (!dfn[v_])
        {
            Tarjan(v_);
            low[u_] = min(low[u_], low[v_]);
        }
        else if (!bel[v_])
            low[u_] = min(low[u_], dfn[v_]);
    }
    if (dfn[u_] == low[u_])
    {
        b_num++;
        while (true)
        {
            int t = s.top();
            s.pop();
            bel[t] = b_num;
            if (t == u_)
                break;
        }
    }
    return;
}
/*=======================================主函式*/
int main()
{
    n = read();
    m = read();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x = read();
        int a = read();
        int y = read();
        int b = read();
        if (a && b)
        {
            add(x + n, y);
            add(y + n, x);
        }
        if (!a && b)
        {
            add(x, y);
            add(y + n, x + n);
        }
        if (!a && !b)
        {
            add(x, y + n);
            add(y, x + n);
        }
        if (a && !b)
        {
            add(x + n, y + n);
            add(y, x);
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n * 2; i++)
    {
        if (!dfn[i])
            Tarjan(i);
        if (i <= n && bel[i] == bel[i + n])
        {
            printf("IMPOSSIBLE\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("POSSIBLE\n");
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", bel[i] < bel[i + n]);
    return 0;
}

寫在最後

  • 最近被教練抓頹抓得好苦啊\kk

  • 再次向已逝去的學長致敬（（（不是

  • 鳴謝：

    • 《演算法競賽進階指南》

    • OI-Wiki

    • @LuckyBlock

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