由圓排列的公式，不難有\(C(n,k)=(_k^n)\times \frac{k!}{k}\)
於是答案為\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}((_j^i)\cdot (j-1)!)mod\space j\)
顯然交換求和次序，有\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}((_i^j)\cdot (i-1)!)mod\space i\)
由威爾遜定理可將\(i\)限定在質數和\(4\)之中，再由盧卡斯定理（這個一定要手寫寫出來才會發現很容易化簡，比賽的時候就覺得可以用程式去算就沒有化簡，從而導致根本沒辦法往下面做，所以以後遇到公式了一定要手寫寫出來）可化簡為\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}(\lfloor\frac{j}{i}\rfloor\cdot (i-1))mod\space i\)
補題的時候一直想的是每個\(i\)對整體的貢獻，但是題解告訴我們也可以考慮\(i\)對特定區域性的貢獻，最後將所有區域性彙總就好了
具體來說，這裡反過去考慮\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}((_j^i)\cdot (j-1)!)mod\space j\)，設\(dp[i]=\sum_{j=1}^{i}((_j^i)\cdot (j-1)!)mod\space j\)，再考慮\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}(\lfloor\frac{j}{i}\rfloor\cdot (i-1))mod\space i\)，統計每個\(i\)對\(dp\)陣列的貢獻（列舉倍數利用差分），時間複雜度為\(O(n\) ln \(n)\)