波動率模型
什麼是波動率？
波動率指的是資產價格的波動強弱程度，類似於概率論中隨機變數標準差的概念。波動率不能直接觀測，可以從資產收益率中看出波動率的一些特徵。
為建立波動率隨時間變化的一般模型，我們定義波動率是收益率的條件標準差。設 \(r_t\) 是某種資產在 \(t\) 時刻的基於某時間單位的對數收益率，一般認為 \(\{r_t\}\) 序列是前後不相關的或低階自相關的，但不是前後獨立的時間序列。
一元波動率模型就是試圖刻畫收益率這種本身不相關或低階自相關，但前後不獨立的模型。用 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 時刻的收益率的全部歷史資訊，尤其是包括這些收益率的線性組合。考慮 \(r_t\) 在 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 條件下的條件均值和條件方差：
\[\mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ .
\]
可以將 \(r_t\) 分解為：
\[r_t=\mu_t+a_t \ ,
\]
其中 \(\{a_t\}\) 為不相關的白噪聲序列，這裡我們對白噪聲序列假設 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) 。這個條件比不相關零均值白噪聲序列的條件要強一些。綜合以上條件，可以有
\[\sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ .
\]
這裡的 \(\sigma_t\) 就是波動率，是收益率的條件標準差。
如果假設模型中的白噪聲 \(\{a_t\}\) 是獨立序列， 則 \(\sigma_t^2\equiv\sigma^2\) ，波動率就沒有建模的可能。但是實際上，假定 \(\{a_t\}\) 是零均值不相關的白噪聲，滿足 \({\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0\) ，但並不是獨立序列。
波動率模型的主要問題就是對 \(\sigma_t^2\) 建模，這種模型叫做條件異方差模型。將收益率 \(r_t\) 分解後，有
\[a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,
\]
稱 \(\{a_t\}\) 為資產收益率 \(\{r_t\}\) 在 \(t\) 時刻的新息。\(\sigma_t^2\) 的模型稱為 \(\{r_t\}\) 的波動率方程。
\({\rm ARCH}\) 模型引入
自迴歸條件異方差模型，簡稱為 \({\rm ARCH}\) 模型。這是我們將波動率定義為條件標準差之後，第一次提出的波動率的理論模型。
我們通常意義上考慮的異方差問題，是指在一個靜態模型中，隨機誤差項的方差取決於模型中的解釋變數。然而在時間序列模型中，我們還需要對異方差的動態形式加以考慮。即使不存在通常意義上的異方差，隨機誤差項的方差還可能取決於時間序列在以前時期的波動程度。我們用條件方差來理解這一問題。
考慮一個簡單靜態模型
\[y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ ,
\]
如果該模型滿足時間序列模型假設 TS.1-TS.5，則顯然 OLS 估計量仍然是 BLUE 的。這裡的同方差假設指的是 \({\rm Var}(u_t|X)\) 是一個常數。但如果改變條件，還可能存在其他形式的異方差：
\[{\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,
\]
這就是一階自迴歸條件異方差模型。
一般地，我們省略解釋變數條件，將 \({\rm ARCH}(1)\) 模型寫為
\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ .
\]
\({\rm ARCH}(1)\) 模型
建立 \({\rm ARCH}\) 模型考慮了兩個基本思想：
(1) 隨機擾動序列 \(u_t\) 是前後不相關的，但不獨立的。
(2) 序列 \(u_t\) 的不獨立性可以描述為基於歷史資訊的條件方差 \({\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})\) 可以用二次項序列 \(u_t^2\) 的滯後項的線性組合表示。
其中 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 指的是 \(t-1\) 期的全部資訊。
在 Wooldridge 的《計量經濟學導論》中，將 \({\rm ARCH}(1)\) 模型近似設定為
\[u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ .
\]
由於條件方差恆正，因此在這個模型中，只有當 \(\alpha_0>0\) 且 \(\alpha_1>0\) 時該模型是有具有動態意義的。
更加廣為使用的 \({\rm ARCH}(1)\) 模型是 Tsay 在《金融時間序列分析》中給出的模型設定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,
\]
其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 \({\rm WN}(0,\,1)\)
首先求解條件方差：
\[{\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2
\]
接著求解無條件方差：
\[\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\
&={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ .
\end{aligned}
\]
由於 \(\{u_t\}\) 是一個零均值平穩序列，有 \({\rm E}(u_t)=0\) 和 \({\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})\) ，因此
\[{\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ ,
\]
進而有
\[{\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ .
\]
這裡要求 \(0<\alpha_1<1\)
\({\rm ARCH}(m)\) 模型
進而我們將模型擴充套件為一般的 \({\rm ARCH}(m)\) 模型，首先給出模型設定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2
\]
其中 \(\{\varepsilon_t\}\) 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 \({\rm WN}(0,\,1)\) ，並且 \(\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m\) 。一般假設為標準正態分佈或是標準化的 \(t\) 分佈。
另外 \(\{\alpha_j\}\) 還需要滿足使得 \({\rm Var}(u_t)\) 有限的條件，類似於 \({\rm AR}(p)\) 序列的平穩性的特徵根條件，並且
\[\sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ .
\]
模型設定中的第二個方程被稱為波動率方程。由於該方程的右側僅出現了截止到 \(t-1\) 時刻的確定性函式而沒有新增的隨機擾動，所以稱 \({\rm ARCH}\) 模型為確定性的波動率模型。
設 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示 \(t-1\) 期的全部歷史資訊，由 \(\{\varepsilon_t\}\) 的獨立性知 \(\{\varepsilon_t\}\) 和 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 獨立。
類似於 \({\rm ARCH}(1)\) 模型的無條件方差，可以利用全期望公式計算得到 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的無條件方差如下：
首先計算條件方差
\[\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&=
{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\
&=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\
&=\sigma_t^2
\end{aligned}
\]
進而計算無條件方差
\[\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&=
{\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\
&={\rm E}(\sigma_t^2) \\
&={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\
&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ .
\end{aligned}
\]
由 \(\{u_t\}\) 的平穩性 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)\) 可以解得
\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ .
\]
以上就是常用的 \({\rm ARCH}\) 模型的性質。但我們也會發現 \({\rm ARCH}(m)\) 模型的具有如下缺點：模型中引入的都是擾動項 \(u_t\) 的平方項，因此恆為正值，沒有考慮正、負擾動對於波動率的不對稱影響。此外，\({\rm ARCH}\) 模型不能提供更多資訊來幫助理解方程的來源，僅僅提供一種方法來描述條件方差是如何變化的。
\({\rm GARCH}\) 模型引入和模型設定
在之前的介紹中，\({\rm ARCH}\) 模型用來描述波動率能得到很好的效果，但實際建模時可能需要較高的階數。提出了ARCH模型的一種重要推廣模型，稱為 \({\rm GARCH}\) 模型。
Tsay 在《金融時間序列分析》一書中引入了對數收益率 \(r_t\) 的概念。事實上，對於一個對數收益率 \(r_t\) 的新息序列
\[u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,
\]
常常用 \({\rm GARCH}\) 模型來刻畫 \(\{u_t\}\) 序列的性質。下面給出一般情況下 \({\rm GARCH}(m,\,s)\) 的模型設定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ ,
\]
其中，\(\{\varepsilon_t\}\) 為零均值單位方差的獨立同分布白噪聲序列，\(\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0\) ，並且
\[0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1
\]
這個條件用來保證滿足模型的的 \(u_t\) 無條件方差有限且不變，而條件方差 \(\sigma_t^2\) 可以隨時間 \(t\) 的變化而變化。
\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型
下面以最簡單的 \({\rm GARCH}(1,\,1)\) 模型為例研究 \({\rm GARCH}\) 模型的性質。依然定義 \(\mathcal{F}_{t-1}\) 表示截止到 \(t-1\) 時刻的 \(u_{t-i}\) 和 \(\sigma_{t-j}\) 所包含的全部歷史資訊。首先寫出模型設定：
\[u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ ,
\]
\[\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ ,
\]
計算出條件期望：
\[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ .
\]
這裡利用了 \(\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}\) 和 \(\varepsilon_t\) 與 \(\mathcal{F}\) 獨立。
進而計算無條件期望
\[{\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ .
\]
即 \({\rm GARCH}\) 模型的新息 \(u_t\) 的無條件期望為零。
最後利用全期望公式計算無條件方差，假設 \(\{u_t\}\) 序列存在嚴平穩解，則有
\[\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\
\\
&={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\
\\
&={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\
\\
&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\
\\
&=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ .
\end{aligned}
\]
由 \({\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)\) 解得
\[{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ .
\]
\({\rm GARCH}(1,\,1)\) 預測波動率示例
首先寫出利用截止到 \(h\) 時刻的觀測值作一步預測的波動率模型：
\[\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ .
\]
因此有數學期望
\[\sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ .
\]
這說明對未來波動率的一步預測可以利用波動率模型直接給出。
繼續計算兩步預測：
利用 \(u_t=\sigma_t\varepsilon_t\) 化簡 \(\sigma_{h+2}^2\) :
\[\begin{aligned}
\sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\
\\
&=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\
\\
&=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ .
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\
\\
&={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\
\\
&=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\
\\
&=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ .
\end{aligned}
\]
類似地，可以求得遞推預測公式：
\[\sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ ,
\]
迭代計算得
\[\sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ ,
\]
當 \(l\to\infty\) 時，有
\[\sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ .
\]
即波動率的多步條件方差預測趨於的 \(u_t\) 的無條件方差。
和 \({\rm ARCH}\) 模型類似，使用 \({\rm GARCH}\) 模型對於收益率的正負不對稱性仍然無法反映。