ch0 預備知識

分佈

• 泊松分佈:

  • 概率密度函式:
    $$f(n,\lambda )=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}n=1,2,...$$

  • $E=\lambda ,D=\lambda$

• 指數分佈:

  • 概率密度函式
    $$f(x,\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$$

  • $E=\frac{1}{\lambda },D=\frac{1}{{\lambda }^2}$

全概率公式和全期望公式

• 全概率公式:

  $$P(B)=\sum _{k=1}^{n}P\left(B\mid A_k\right)P\left(A_k\right)$$
  推廣:

  • $Y$離散時:
    $$P(A)=\sum _{j}P(A|Y=y_j)P(Y=y_j)$$

  • $Y$連續時:
    $$P(A)={\int }_{-\infty }^{+\infty }P(A|Y=y_j)f_Y(y)dy$$

• 全期望公式

  • $Y$離散時:
    $$E(X)=\sum _{j}E(X|y_j)P(Y=y_j)$$

  • $Y$連續時:
    $$E(X)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\inf }}E(X|y)f_Y(y)dy$$

$\Gamma$函式

$\Gamma$函式表示式:
$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}dx$$
初值:
$$\Gamma (1)=1,\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{(\pi )}$$
遞推關係:
$$\Gamma (n)=(n-1)!$$

ch1 隨機過程的基本概念

§2.3 隨機過程的數字特徵

給定隨機過程 X T = { X ( t ) , t ∈ T } X_T=\{ X(t), t \in T \} XT​={X(t),t∈T},定義數字特徵如下:

• 均值函式:
  $$m_x(t)\triangleq E[X(t)]$$

• 自相關函式:
  $$R_X(s,t)\triangleq E[X(s),X(t)]$$

• 自協方差函式:
  $$B_X(s,t)\triangleq Cov[X(s),x(t)]=R_X(s,t)-m_X(s)m_X(t)$$

• 方差函式:
  $$D_X(t)\triangleq D[X(t)]=E[(X-E(X){)}^2]$$

• 均方差函式:
  $${\sigma }_X(t)=\sqrt{D_X(t)}$$

ch3 泊松過程

§3.1 泊松過程的定義

• 計數過程: 若$N(t)$表示在$(0,t]$內事件A出現的總次數,則稱隨機過程 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t), t \geq 0\} {N(t),t≥0}為計數過程.

• 獨立增量過程: 對任意$t_1<t_2\le t_3<t_4\in T$,$X(t_2)-X(t_1)$與$X(t_4)-X(t_3)$相互獨立,則稱隨機過程$X(t)$為獨立增量過程.

• 平穩增量過程: 對任意$s,t,h\in T$,$X(t+h)-x(s+h)$與$X(t)-X(s)$具有相同的分佈,則稱隨機過程$X(t)$為平穩增量過程.

• 泊松過程: 稱計數過程 { X ( t ) ， t ≥ 0 } \{X(t)，t \geq 0 \} {X(t)，t≥0}是泊松過程,如果$(t)$滿足:

  1. $X(0)=0$

  2. $X(t)$是獨立增量過程

  3. 在任一長度為$t$的區間中,事件A發生的次數服從引數$\lambda t>0$的泊松分佈,即對任意$s,t\ge 0$,有:
     P { X ( t + s ) − X ( s ) = n } = e − λ t ( λ t ) n n ! n = 0 , 1 , 2 , . . . P\{ X(t+s) - X(s) = n \} = e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} \qquad n=0,1,2,... P{X(t+s)−X(s)=n}=e−λtn!(λt)n​n=0,1,2,...

  由$E[X(t)]=\lambda t$,故$\lambda =\frac{E[X(t)]}{t}$表示過程的強度

§3.2 泊松過程的性質

• 數字特徵: 設 { X ( t ) ， t ≥ 0 } \{X(t)，t \geq 0 \} {X(t)，t≥0}是引數為$\lambda$的泊松過程,對任意$t,s\in [0,+\infty ),s<t$,有:
  $$E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=\lambda (t-s)$$

  $$m_X(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=\lambda t$$

  $${\sigma }_X^2(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=\lambda t$$

  $$R_X(s,t)=E[X(s),X(t)]=\lambda s(\lambda t+1)$$

  $$B_X(s,t)=R_X(s,t)-m_X(s)m_X(t)=\lambda s$$

• 等待(到達)時間$W_n$與時間間隔$T_n$的分佈:

  

  $W_n$表示第$n$個事件的等待(到達)時間,$T_n$表示第$n$個事件與第$n-1$個事件出現的時間間隔

  • 到達時間$W_n$服從$\Gamma$分佈,其概率密度函式:
    $$f_{W_n}(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t{)}^{n-1}}{(n-1)!},& t\ge 0\\ 0,& t<0\end{array}$$

  • 時間間隔$T_n$的分佈:
    F T n ( t ) = P { T n ≤ t } = { 1 − e − λ t , t ≥ 0 0 , t < 0 F_{T_{n}}(t)= P\{T_{n} \leq t \}= \left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\lambda t}, & t \geq 0 \\ 0, & t<0 \end{array}\right. FTn​​(t)=P{Tn​≤t}={1−e−λt,0,​t≥0t<0​

  • 到達時間的條件分佈: 已知$[0,t]$內事件$A$已經發生1次,則這一事件到達時間$W_1$的條件分佈密度函式:
    $$f_{W_1}(s|N(t)=1)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{t},& 0<s<t\\ 0,& 其他\end{array}$$

  • 到達時間的條件分佈: 已知$[0,t]$內事件$A$已經發生$n$次,則第$k$次事件的發生時間$W_k$的條件概率密度函式:
    $$f_{W_k}(s|N(t)=n)=\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\frac{s^{k-1}(t-s{)}^{n-k}}{t^n}& 0<s<t\\ 0& 其它\end{array}$$

  • 到達時間的條件聯合分佈: 已知$[0,t]$內事件$A$已經發生$n$次,則這$n$次到達時間$W_1,W_2,...,W_n$的聯合條件分佈密度函式:
    $$f_{W_1,W_2,...,W_n}(t_1,t_2,\cdots ,t_n|N(t)=n)=\{\begin{array}{ll}\frac{n!}{t^n},& 0<t_1<\cdots <t_n<t\\ 0,& 其他\end{array}$$

§3.3 非齊次泊松過程

• 定義: 稱計數過程 { X ( t ) ， t ≥ 0 } \{X(t)，t \geq 0 \} {X(t)，t≥0}是非齊次泊松過程,如果$(t)$滿足:

  1. $X(0)=0$

  2. $X(t)$是獨立增量過程

  3. 在任一長度為$t$的區間中,事件A發生的次數服從引數為${\int }_s^{s+t}\lambda (u)du$的泊松分佈,即對任意$s,t\ge 0$,有:
     $$X(t+s)-X(s)\sim \pi ({\int }_s^{s+t}\lambda (u)du)$$

  $\lambda (t)$稱為速率函式

§3.4 複合泊松過程

• 定義: 設 { N ( t ) ， t ≥ 0 } \{N(t)，t \geq 0 \} {N(t)，t≥0}是泊松過程, { Y k ， k = 1 , 2 , . . } \{Y_k，k=1,2,.. \} {Yk​，k=1,2,..}是一系列獨立同分布的隨機變數,則稱
  $$X(t)=\sum _{n=1}^{N(t)}{Y}_n$$
  為複合泊松過程.

• 性質:

  1. { X ( t ) ， t ≥ 0 } \{X(t)，t \geq 0 \} {X(t)，t≥0}是獨立增量過程
  2. 若 { N ( t ) ， t ≥ 0 } \{N(t)，t \geq 0 \} {N(t)，t≥0}是齊次泊松過程,則 { X ( t ) ， t ≥ 0 } \{X(t)，t \geq 0 \} {X(t)，t≥0}是平穩增量過程

• 數字特徵:

  • $E(X)=E(N)E(Y_1)$
  • $D(X)=E(N)D(Y_1)+D(N)E^2(Y_1)$

  若 { N ( t ) ， t ≥ 0 } \{N(t)，t \geq 0 \} {N(t)，t≥0}是齊次泊松過程,則:

  • $EX(t)=EN(t)E(Y_1)=\lambda tE(Y_1)$
  • $DX(t)=EN(t)E(Y_1^2)=\lambda tE(Y_1^2)$
  • $E(X)=E[E(X|N)]=E[NE(Y_{!})]=E(N)E(Y_1)$

ch4 馬爾可夫過程