【Demllie航天】重力轉彎與閉環控制

前言

一個繞軌飛行的航天器，降落期間是垂直於地表的，那麼那這段區間內，航天器是怎麼做到的呢？在旋轉航天的角度為垂直期間，火箭噴口方向朝哪？朝向徑向向外嗎？

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只需要噴一會兒

一開始降低軌道，需要火箭噴口朝速度方向，降低軌道為拋物線後，朝速度方向開火箭，由於重力轉彎的作用，在航天器變為垂直，並不需要朝橫向或者徑向噴來浪費燃料。甚至只需要開一次節流閥就能垂直了！

下面解釋重力轉彎是什麼。

降低軌道了，軌道變成拋物線，這時候火箭噴口朝速度方向，開啟節流閥。

重力加速度設為g,航天器速度為v，火箭輸出的推重比為u，速度方向和重力方向夾角為$\psi$，轉彎期間推力方向和速度方向嚴格相反！
受力分析：
對於航天器質心
速度方向上
$$\dot{v}=-gu+gcos\psi (1)$$
因為分運動是個圓，所以有旋轉加速度$a_n=v\omega =-gsin\psi$
$$v\dot{\psi }=-gsin\psi (2)$$

• 只要$u$大於零，隨著時間的推移$\psi$接近於零，那麼航天器的姿態自然變為垂直！ 這就是重力轉彎的基本原理！

閉環控制

但是，仔細想想一般還與高度h和速度大小v有關，高度太低，速度太高……
所以，在下降時還需要調整推重比$u$，從而構成閉環重力轉彎制導。

通常控制量$u$的計算還需要一條跟蹤軌跡，可以是

1. 高度-速度曲線
2. 截距-速度曲線
3. 時間-高度曲線

等。

時間-高度曲線

設
$v_f$為終端速度(不是最後垂直在著陸點上的速度)，是下一時刻的速度。
$$\begin{gathered} x_1=v-v_f \\ {x}_2=\psi \\ {x}_3=h \end{gathered}$$
則可以建立模型
$$\left[\begin{array}{c}\dot{x_1}\\ \dot{x_2}\\ \dot{x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}gcos{x}_2-gu\\ -\frac{gsin{x}_2}{x_1+v_f}\\ -x_{1}cos{x}_2\end{array}\right]$$
   \;
第一個公式是速度方向上的合力的加速度
$$\dot{x_1}=\frac{d(v-v_f)}{dt}=gcos\psi -gu$$
第二個公式是分運動的旋轉加速度公式推導的角速度
$$\frac{d\psi }{dt}=-\frac{gsin\psi }{v}$$
第三個公式是垂直方向上的速度增益
$$\frac{dh}{dt}=-(v-v_f)cos\psi$$

   \;
高度方程為
$$y=x_3$$
求二階導數為
$$\ddot{y}=-g\left(\begin{array}{c}1-\frac{v_{f}si{n}^2{x}_2}{x_1+v_f}\end{array}\right)+gucos{x}_2$$

如果，控制輸入設定為下面的形式
$$u=\frac{1}{gcos{x}_2}\left\{g\left[\begin{array}{c}1-\frac{v_{f}si{n}^2{x}_2}{x_1+v_f}+\ddot{h_d}-c_2(\dot{y}-\dot{h_d})-c_1(y-h_d)\end{array}\right]\right\}$$
其中$c_1,c_2$是常數，那麼輸出方程可以化為
$$\ddot{y}=\ddot{h_d}-c_2(\dot{y}-\dot{h_d})-c_1(y-h_d)$$
通過旋轉$c_1,c_2$可以使得上式穩定！!!

上述控制是連續跟蹤的，所以一般來說$u$也是連續的，這要求發動機能夠變推力！

結論

重力轉彎閉環制導律本身是沒有考慮推進劑消耗的，但是可以通過設計跟蹤的軌跡來近似保住最優性。以重力轉彎過程推進劑消耗最少為優化目標，通過最優控制理論分析表明，最優的重力轉彎制導律是一種開關bang-bang控制，只需要控制發動機開關，不需要條件推力大小，而且開關次數最多進行一次！！！

這就意味著，印度的月船二號是雖然是沒有變推力，利用多個發動機的開關來著陸，這種方案其實是可行的。只要重力轉彎制導達到最優，發動機開一次就能垂直過來，然後只需要用PID降落就行。

重力轉彎方程中，沒有落點位置，這決定了這種制導律只能應用在對落點位置沒有要求的任務中，可以說是很侷限了！

來自《航天器動力學與控制》