單擺法測重力加速度實驗報告
李俊辰 PB23000176 2024年3月27日
1 摘要
本實驗透過單擺法，進行一系列資料處理和運算，來測量本地的重力加速度 \(g\)。
- 瞭解單擺擺長週期的關係，確定實驗方式。
- 測量擺長和週期，計算重力加速度和其不確定度。
- 測量多組擺長，透過 \(l\) 和 \(T^2\) 的關係進行擬合，進而確定重力加速度。
- 分析基本誤差的來源，提出進行改進的方法。
2 背景介紹
單擺實驗是一個經典實驗，許多著名的物理學家都對單擺實驗進行過細緻的研究。伽利略指出擺的週期與擺長的平方根成正比，而與擺的質量和材料無關。
- 重力加速度݃ \(g\) 是指一個物體受重力作用時具有的加速度。
- 重力加速度݃ 與物體所處的緯度、海拔高度及附近的礦藏分佈等因素有關。
- 精確測量重力加速度，研究重力加速度的分佈，在勘查地下資源、提高導彈和衛星精度等應用領域具有十分重要的意義。
3 實驗方法
3.1 實驗器材
鋼捲尺、遊標卡尺、千分尺、電子秒錶、單擺。
單擺擺長可調上限約為 \(100cm\)。
3.2 實驗原理
單擺的週期有公式：
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}(1+\frac{d^2}{20l^2}-\frac{m_0}{12m}(1+\frac{d}{2l}+\frac{m_0}{m}+\frac{\rho_0}{2\rho}+\frac{\theta^2}{16})}
\]
該公式與擺線長度、質量，擺球直徑、密度，空氣密度，擺角等變數有關，較為複雜。
該實驗要求不確定度優於 \(1\%\)，而擺球形狀、質量等因素，在擺角較小（\(\theta < 5^\circ\)）的情況下對 \(T\) 的影響一般小於 \(10^{-3}\)，因此可以忽略修正項，使用一級近似公式：
\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}
\]
透過帶入 \(l\) 和 \(T\)，解得重力加速度 \(g\)。
3.3 實驗步驟
- 按照實驗要求組裝好實驗儀器，將電子秒錶歸零。
- 使擺線取合適長度，重複 \(6\) 次測量單擺擺長。
- 使在同一平面內擺動，保持擺角較小（\(\theta < 5^\circ\)）。
- 重複 \(6\) 次測量單擺週期，每次測量時使單擺擺動 \(50\) 個週期，測量擺動時間。
- 再選取 \(6\) 個合適的擺長長度，重複 2 至 4 步。
- 整理資料，計算重力加速度與不確定度。
- 整理儀器。
4. 結果和分析
4.1
透過對擺長和週期的 6 次重複測量計算當地重力加速度及其標準不確定度
4.1.1 測量資料
| 序號 | 擺線長度 \(l/cm\) | 擺球直徑 \(d/ mm\) | 50 次擺動時間 \(t/s\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 70.12 | 21.10 | 84.56 |
| 2 | 69.97 | 21.15 | 84.14 |
| 3 | 69.91 | 21.55 | 84.22 |
| 4 | 70.05 | 21.38 | 84.05 |
| 5 | 70.11 | 21.25 | 84.78 |
| 6 | 70.59 | 21.17 | 84.36 |
4.1.2 資料處理
擺線長度平均值：
\[\overline{l}=\frac{70.12+69.97+69.91+70.05+70.11+70.59}{6}cm=70.13cm
\]
擺線長度標準差的平方：
\[\sigma_l^2=\frac{(70.12-70.13)^2+(69.97-70.13)^2+(69.91-70.13)^2+(70.05-70.13)^2+(70.11-70.13)^2+(70.19-70.13)^2}{6-1}cm^2=0.0169cm^2
\]
可得，標準不確定度：
\[u_l=\sqrt{\frac{\sigma_l^2}{6}}cm=0.0531cm
\]
擺球的平均直徑：
\[\overline{d}=\frac{21.10+21.15+21.55+21.38+21.25+21.17}{6}mm=21.27mm
\]
擺球直徑的標準差的平方：
\[\sigma_d^2=\frac{(21.10-21.27)^2+(21.15-21.27)^2+(21.55-21.27)^2+(21.38-21.27)^2+(21.25-21.27)^2+(21.17-21.27)^2}{6-1}mm^2=0.0288mm^2
\]
可得，標準不確定度：
\[u_d=\sqrt{\frac{\sigma_d^2}{6}}mm=0.0693mm
\]
擺長平均值：
\[\overline{L}=\overline{l}+\frac{\overline{d}}{2}=71.19cm
\]
合成標準不確定度：
\[u_L=\sqrt{u_l^2+(\frac{u_d}{2})^2}=0.0634cm
\]
擺動時間平均值：
\[\overline{t}=\frac{84.56+84.14+84.22+84.05+84.78+84.36}{6}s=84.35s
\]
擺動時間標準差的平方：
\[\sigma_t=\frac{(84.56-84.35)^2+(84.14-84.35)^2+(84.22-84.35)^2+(84.05-84.35)^2+(84.78-84.35)^2+(84.36-84.35)^2}{6-1}s^2=0.0760s^2
\]
結合人開表、停表的誤差 \(\Delta_{\text{人}}=0.2s\)，可得週期 \(T\) 的標準不確定度：
\[u_T=\frac{1}{50}\sqrt{\frac{\sigma_t^2}{6}+\Delta_{\text{人}}^2}s=0.0043s
\]
合成可得 \(g\) 的標準不確定度：
\[\frac{u_g}{\overline{g}}=\sqrt{(\frac{u_L}{\overline{L}})^2+2^2\dot (\frac{u_T}{\overline{T}})^2}=0.0052
\]
又有：
\[\overline{g}=4\pi^2\frac{\overline{L}}{\overline{T}^2}m/s^2=9.875m/s^2
\]
那麼：
\[u_g=0.0052\overline{g}=0.0553m/s^2
\]
所以最終結果為，當地重力加速度為 \(g=9.875m/s^2\)，其不確定度為 \(0.0553m/s^2\)
也可知 \(\Delta_g/g<1\%\)，符合實驗要求。
4.2
測量多個擺長與週期，用最小二乘法擬合。
擺長取擺線長度與擺球半徑之和。
4.2.1 測量資料
| 序號 | 擺長 \(L/cm\) | 50 次擺動時間 \(t/s\) |
|---|---|---|
| 1 | 70.12 | 84.56 |
| 2 | 62.25 | 77.87 |
| 3 | 77.57 | 89.02 |
| 4 | 50.36 | 70.13 |
| 5 | 55.68 | 73.53 |
| 6 | 67.11 | 80.89 |
4.2.2 資料分析
擺長平均值：
\[\overline{L}=\frac{70.12+62.25+77.57+50.36+55.68+67.11}{6}cm=63.85cm
\]
週期平方的平均值：
\[\overline{T}=\frac{84.56^2+77.87^2+89.02^2+70.13^2+73.53^2+80.89^2}{6\times 2500}s^2=2.53s^2
\]
根據最小二乘法公式，可以計算出 \(l-T^2\) 影像的斜率：
\[k=\frac{\sum LT^2-6\overline{L}\overline{T^2}}{\sum T^4-6\overline{T^2}^2}=0.2503 m/s^2
\]
由此，可最終求出重力加速度：
\[g=4\pi^2k=9.881m/s^2
\]
5 總結與討論
- 實踐了對遊標卡尺、電子秒錶等工具的使用。
- 實踐了標準不確定度、不確定度合成的計算。
- 學會了應用誤差均分原則選用適當的儀器和設計方法。