凸優化學習補充知識（一）——矩陣的1/2次方

匯源果汁121發表於2020-12-15
優化矩陣

P 1 / 2 P^{1/2} P1/2

首先需要滿足
P 1 / 2 ∈ A , A ∈ S + + n P^{1/2} \in A,A\in S_{++}^{n} P1/2∈A,A∈S++n​
這時A一定相似於主對角元素都為正數的對角陣，也就是說存在可逆陣
P，使得
X − 1 A X = Λ = d i a ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) X^{-1}AX=Λ=dia(λ_1,λ_2,...,λ_n) X−1AX=Λ=dia(λ1​,λ2​,...,λn​)
是對角陣
取
P = X d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) X − 1 P=Xdiag(\sqrtλ_1,\sqrtλ_2,...,\sqrtλ_n)X^{-1} P=Xdiag(λ ​1​,λ ​2​,...,λ ​n​)X−1
則
P 2 = A    ⟺    P = A 1 / 2 P^{2}=A\iff P=A^{1/2} P2=A⟺P=A1/2

———凸優化7

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