三門問題（Monty Hall problem）

昨天在刷douyin時，恰巧刷到了一條關於數學概率的小視訊。點贊人數很多，評論人數也很多，重點是視訊的內容談到的三門問題確實非常的吸引人去思考（反正我有被吸引到，謝謝）。。

視訊很短，結尾處就把“答案”說出來了。

當然，以我這腦瓜子，拿著手機愣是想了半個多小時，依然沒弄明白為啥我的想法與公佈的答案不符，一度讓我懷疑我的智商。翻看了一下評論區，大家的想法和意見也都有分歧，有和我想的一樣的，也有和公佈的答案一樣的，還很熱心的把原因講解了一遍，，，嗯，我還是沒搞懂。

 

進入正題

首先看一下什麼是“三門問題”。接下來是度娘登場時間~~~

三門問題（Monty Hall problem）亦稱為蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率。如果嚴格按照上述的條件，那麼答案是會。不換門的話，贏得汽車的機率是1/3。換門的話，贏得汽車的機率是2/3。

以上的說法可能不是很嚴謹哈，下面給出更為嚴謹的陳述：

• 現在有三扇門，只有一扇門有汽車，其餘兩扇門的都是山羊。

• 汽車事前是等可能地被放置於三扇門的其中一扇後面。

• 參賽者在三扇門中挑選一扇。他在挑選前並不知道任意一扇門後面是什麼。

• 主持人知道每扇門後面有什麼。

• 如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

• 如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人等可能地在另外兩扇有山羊的門中挑一扇門。

• 參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一扇門。

嗯，陳述看完，就要講講為啥換門後中獎的概率要高了。（解法很多，這裡只列舉一種比較通俗易懂的解題思路，依然來自度娘，，，感謝度孃的大力支援，謝謝。。）

          當參賽者轉向另一扇門而不是維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。

          有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）：

          1、參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。

          2、參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。

          3、“參賽者挑汽車，主持人挑羊一號。轉換將失敗”，和“參賽者挑汽車，主持人挑羊二號。轉換將失敗。”此情況的可能性為：1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3。

 

實踐部分

既然我無法用腦瓜子想透它，就要用行動證明它！

我預想的證明方法就兩種：

方法一：用撲克牌

        首先用兩張一樣數字的撲克代表山羊，一張不一樣數字的撲克代表汽車，然後叫上你的小夥伴，愉（枯）快（燥）的玩遊戲！你的小夥伴扮演主持人，你就是玩家，根據規則開始不斷地猜猜猜、換換換、不換不換我不換，同時記錄猜中的次數、不中的次數與總次數，最後再計算換與不換能猜中汽車的概率。

這個方法確實簡單，但是也確實耗時。而且我們知道，概率這東西，嘗試的次數越多，才越接近真實情況。玩個十萬次估計能把人玩廢，哈哈哈。

方法二：用程式碼模擬

上程式碼~~~（程式碼很簡單，學過java的都知道）

import java.util.Random;
import java.util.Scanner;

/**
 * @Description 三門問題模擬
 * @Author HeHuanxing
 * @Date 2020/12/13 22:42
 * @UpdateUser
 * @Version 1.0
 */
public class ThreeQuestionsTest {

    // 測試的次數（即競猜的總次數）
    private static float numberOfGuesses = -1;
    // 玩家選擇的門編號
    private static int selectedNumber = -1;
    // 主持人開啟背後有山羊的門編號
    private static int doorOpenedIndex = -1;
    // 猜中的總次數
    private static float numberOfAwards = 0L;
    // 未猜中的總次數
    private static float noAwards = 0L;
    // 玩家是否更換所選擇的門（預設不更改）
    private static String isChangeChoice = "N";
    // 使用長度為3的陣列表示三個門，初始值為-1，表示不代表任何東西；使用1表示汽車，2表示羊
    private static int[] doors = new int[]{-1, -1, -1};
    // 使用Random物件獲取隨機數，模擬隨機分配汽車和山羊
    private static Random randomForAssigned = new Random();
    // 同樣使用Random物件獲取隨機數，模擬隨機選擇一扇門
    private static Random randomForSelection = new Random();

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("請輸入想要測試的次數：");
        numberOfGuesses = input.nextFloat();
        System.out.println("是否更換所選擇的門？(Y/N)");
        isChangeChoice = input.next();
        System.out.print("輸入完成，總的競猜次數為" + numberOfGuesses + "次，並且");
        if (isChangeChoice.equalsIgnoreCase("N")) {
            System.out.println("當主持人詢問是否更換門時，玩家選擇不更換");
        } else {
            System.out.println("當主持人詢問是否更換門時，玩家選擇更換");
        }

        startTheGuessingGame();
    }

    private static void startTheGuessingGame() {
        for (int num = 1; num <= numberOfGuesses; num++) {
            // 每進行一次選擇，均需要初始化一次各個引數，模擬這是一場新的競猜環節
            init();

            // 隨機在三個門後分配汽車和山羊
            randomlyAssigned();

            // 隨機選擇任意一扇門
            randomSelection();

            // 主持人開啟背後有山羊的門，並根據玩家是否願意換門來進行交換門編號
            askAndDetermineTheFinalChoice();

            // 累計猜中的次數與未猜中的次數
            if (doors[selectedNumber] == 1) {
                numberOfAwards++;
            } else {
                noAwards++;
            }
        }
        System.out.println("猜中汽車的概率是：" + numberOfAwards/numberOfGuesses);
        System.out.println("猜不中汽車的概率是：" + noAwards/numberOfGuesses);
    }

    /**
     * 將各個引數初始化
     */
    private static void init() {
        selectedNumber = -1;
        doorOpenedIndex = -1;
        doors[0] = -1;
        doors[1] = -1;
        doors[2] = -1;
    }

    /**
     * 隨機在三個門後分配汽車和山羊
     * 編號說明：使用1表示汽車，使用2表示山羊
     */
    private static void randomlyAssigned() {
        int carIndex = randomForAssigned.nextInt(3);
        doors[carIndex] = 1;
        for (int index = 0; index < doors.length; index++) {
            if (index != carIndex) {
                doors[index] = 2;
            }
        }
    }

    /**
     * 隨機選擇任意一扇門
     */
    private static void randomSelection() {
        selectedNumber = randomForSelection.nextInt(3);
    }

    /**
     * 主持人開啟背後有山羊的門，並根據玩家的換門意願來進行下一步操作
     * 需要明確的是：主持人一定知道門後是汽車還是山羊，開啟的一定是山羊的門
     */
    private static void askAndDetermineTheFinalChoice() {
        // 確定被主持人開啟的門編號
        for (int index = 0; index < doors.length; index++) {
            if (selectedNumber != index && doors[index] == 2) {
                doorOpenedIndex = index;
                break;
            }
        }

        if (isChangeChoice.equalsIgnoreCase("Y")) {
            // 若玩家願意更換前面選中的那一扇門，則玩家交換後選中的即是另一扇沒開啟的門
            for (int index = 0; index < doors.length; index++) {
                if (selectedNumber != index && doorOpenedIndex != index) {
                    selectedNumber = index;
                    break;
                }
            }
        } else {
            // 玩家不願意更換前面選中的那一扇門，則保持原狀
            // do nothing
        }
    }
}

以下是測試結果：

更換門的測試：

請輸入想要測試的次數：
1000000
是否更換所選擇的門？(Y/N)
Y
輸入完成，總的競猜次數為1000000.0次，並且當主持人詢問是否更換門時，玩家選擇更換
猜中汽車的概率是：0.666836
猜不中汽車的概率是：0.333164

不更換門的測試：

請輸入想要測試的次數：
5000000
是否更換所選擇的門？(Y/N)
N
輸入完成，總的競猜次數為5000000.0次，並且當主持人詢問是否更換門時，玩家選擇不更換
猜中汽車的概率是：0.3335684
猜不中汽車的概率是：0.6664316

不論以撲克牌的方式方式驗證，還是使用程式碼去測試，確實換門比不換門，猜中汽車的概率要高。不換門則僅有1/3概率，換了之後，有2/3概率把車開回家！

 

小尾巴~~~~~

部落格賬號申請了這麼久，卻一直沒寫過文章，這個就當做是一個開頭吧。祝自己也祝所有人都能前程似錦 [手動加笑臉]