UA MATH523A 實分析3 積分理論例題 判斷函式可積性的一個題目

例 $(X,\mathcal{M},\mu )$是一個測度空間，$f$是定義在$(X,\mathcal{M},\mu )$上的可測函式，
$$\sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty$$

證明

1. $|f(x)|\le 1,a.e.$
2. $[1-f(x){]}^{-1}$可積

證
第一問：定義 E = { x ∈ X : ∣ f ( x ) ∣ > 1 } E=\{x \in X:|f(x)|>1\} E={x∈X:∣f(x)∣>1}，則
$$\sum _{n=0}^{\infty }\mu (E)=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_{E}d\mu \le \sum _{n=0}^{\infty }{\int }_E|f{|}^{n}d\mu \le \sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty$$

所以$\mu (E)=0$。於是$|f(x)|\le 1,a.e.$

第二問：因為$|f(x)|\le 1,a.e.$，
$$\frac{1}{1-f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }[f(x){]}^n,a.e.X$$

根據Fatou引理，
$$\begin{gathered} \int \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n|f{|}^{k}d\mu \le \underset{n\to \infty }{\lim }\int \sum _{k=0}^n|f{|}^{k}d\mu \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^n\int |f{|}^{k}d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int |f{|}^{n}d\mu <\infty \end{gathered}$$

因此
$$\int \frac{1}{|1-f|}d\mu <\infty$$

於是$[1-f(x){]}^{-1}$可積。