DEA–SBM model

擴充知識–radial and non-radial

這裡，我們先介紹一個知識，徑向與非徑向。這兩個概念的區別只存在於投入與產出項，看它們是否能按一個比例進行放縮。如果能的話，這個模型便是徑向的；反之，則是非徑向的。

比如說，在第一章中所介紹的CCR模型，其模型可表示為（用基於輸入向的包絡型）：

可以看到x0是通過與theta進行乘積來實現壓縮（theta小於等於0），這說明投入項可以按照一個比例進行乘積，因此CCR模型是徑向模型。

CCR是徑向模型，相似地，BCC模型也是徑向的。

而在第三章學過的Additive model是非徑向模型，它的投入與產出並沒有按比例進行放縮：

而我們接下去要學習的SBM也是一個非徑向（non-radial）模型。

SBM model

先放出SBM模型的公式：

模型解釋1

1. 我們假設模型中的投入全部是非負，即X≥0。
2. 如果投入X出現零時，即X_i0=0，那麼就刪掉目標函式中的這一項值。
3. 至於出現y≤0時，就用一個很小的數去進行替換這一項值，以此來作為懲罰項。

（但是其實對於y的處理存在很大的爭議，有些學者認為如果非正就用一個很小的數去代替的話，那麼該用多小的數，並且不同程度的負值怎麼體現等問題就緊接出現）

模型解釋2

根據上述對模型變數的處理，還有所有鬆弛變數都是非負的，接下來對模型的目標函式進行解析：
根據約束條件，我們可以得到,從而分子部分。又分母部分一定是大於等於1的，這樣就可以得出這個結論：。

變型

這一個部分與第一張CCR變型類似。都是將分母部分令為t:

重新設定變數：

這樣就可以把一個分式模型變成一個線性模型：

對偶模型

這裡對偶模型不再詳細展開，直接放模型兩種形式的公式：

SBM-efficiency

SBM模型有效，當且僅當目標函式ρ^*=1。其實也就是所有的鬆弛為零。

SBM projection

SBM的投影與加性模型一致，最重要的就是在等式中保留與λ相關的那一部分，其他的全部移向等式另一邊：

那麼此時這個新的是SBM有效的。

SBM 與CCR

因為本章節用的SBM模型是規模報酬不變的，因此與CCR進行比較（而不是BCC）。

我們從SBM模型出發，在其達到最優值時，對其約束條件向CCR模型轉換：


此時重新規定鬆弛變數:

這一步，比起原SBM模型來說，多出了一個限制條件。那麼在同是求目標函式最小值的情況下，限制條件越多越難取得更小的值。那麼CCR模型的條件更多，SBM的更少，因此：

作者有話說

內心獨白：我的排版真的好醜，一定要趕緊去學習latex，醜到受不了。先就這樣吧，SBM內容可太多了，有空再來！寫譜聚類作業去咯！！！