摘自伍鴻熙的黎曼幾何初步的第四章.
..., 人們能夠說，理解曲率張量為是微分幾何中兩三個最重要的問題之一. 幾何中帶有普遍性的主題為是討論曲率與拓撲之間的關係. 在這條線索下，最簡單的定理是Bonnet-Myers定理（見第7章），它說：Ricci曲率以一個正常數為下界的完備黎曼流形是緊緻的.而對於負截面曲率的度量，主要的問題是研究黎曼流形的基本群與幾何結構之間的相互作用，見第5章中的Cartan-Hadamard定理及其推論. 對於正截面曲率的度量來說，其總體的圖景幾乎是一無所知，甚至到現在為止我們還不知道在\(S^2 \times S^2\)（\(S^2\)為\(R^3\)中二維單位球面）上能否配備一個正截面曲率的黎曼度量. 對於“截面曲率的正效能對流形帶來怎樣的拓撲含義”這樣一個廣泛的問題仍然保持空白，在過去的十年間，對Ricci曲率已作出了某些堅實的進展，其中某些定理在後面將會提到.在第2章末，我們已給出了與數量曲率有緊密關係的一些最重要問題的參考文獻.
剩下要指出的是，在討論曲率保持定號的度量時必須先假設度量的完備性然後再去匯出這個流形的拓撲性質. 一方面，在任何微分流形上能配備一個完備的黎曼度量，使得其曲率（不一定保持定號）能像人們所希望的那麼小，這是因為對於緊緻流形\(M\)，如\(K\)是給定黎曼度量\(g\)的截面曲率，則對任意一個正常數\(A\),\(Ag\)的截面曲率\(K_A\)滿足
而對非緊緻流形\(M\)，已經證明（見[G31])，如果\(\delta\)是\(M\)上的一個正的連續函式, 則在\(M\)上存在一個完備的黎曼度量，其截面曲率\(K\)能滿足\(K<\delta\).
另一方面，任何非緊緻流形\(M\)能賦以這樣的一個黎曼度量，使得其曲率張量\(K\)滿足\(a^2<K<b^2\)或\(-a^2<K<-b^2\). 這裡\(a，b\)是任意的互不相等的正數（見[G4]). 所以從 Cartan-Hadamard定理（第5章）的觀點來看，這樣的負曲率度量一般地說，必須是非完備的. 從上述的Bonnet-Mvers定理也知這樣的正曲率度量同樣必須是非完備的.